MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2d 25320
Description: Gauss' Lemma (see also theorem 9.6 in [ApostolNT] p. 182) for integer 2: Let p be an odd prime. Let S={2,4,6,...,(p-1)}. Let n denote the number of elements of S whose least positive residue modulo p is greater than p/2. Then ( 2 | p ) = (-1)^n. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n 𝑁 = (𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2d (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2d
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5 gausslemma2d.n . . 3 𝑁 = (𝐻𝑀)
61, 2, 3, 4, 5gausslemma2dlem7 25319 . 2 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1)
7 eldifi 3876 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmnn 15611 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
98nnred 11248 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
10 prmgt1 15632 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
119, 10jca 555 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
121, 7, 113syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
13 1mod 12917 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
1514eqcomd 2767 . . . 4 (𝜑 → 1 = (1 mod 𝑃))
1615eqeq2d 2771 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 ↔ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
17 neg1z 11626 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℤ
181, 4, 2, 5gausslemma2dlem0h 25309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
19 zexpcl 13090 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
2017, 18, 19sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℤ)
21 2nn 11398 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
231, 2gausslemma2dlem0b 25303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ ℕ)
2423nnnn0d 11564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
2522, 24nnexpcld 13245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℕ)
2625nnzd 11694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℤ)
2720, 26zmulcld 11701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℤ)
2827zred 11695 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ)
29 1red 10268 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3028, 29jca 555 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
3130adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
321gausslemma2dlem0a 25302 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3332nnrpd 12084 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
3420, 33jca 555 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
3534adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
36 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
37 modmul1 12938 . . . . . 6 (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((-1↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3831, 35, 36, 37syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃))
3938ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃)))
4020zcnd 11696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
4125nncnd 11249 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐻) ∈ ℂ)
4240, 41, 40mul32d 10459 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)))
4318nn0cnd 11566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
44432timesd 11488 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
4544eqcomd 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑁) = (2 · 𝑁))
4645oveq2d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (-1↑(2 · 𝑁)))
47 neg1cn 11337 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4948, 18, 18expaddd 13225 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
5018nn0zd 11693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
51 m1expeven 13122 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
5346, 49, 523eqtr3d 2803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
5453oveq1d 6830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (2↑𝐻)) = (1 · (2↑𝐻)))
5541mulid2d 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (2↑𝐻)) = (2↑𝐻))
5642, 54, 553eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) = (2↑𝐻))
5756oveq1d 6830 . . . . . 6 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((2↑𝐻) mod 𝑃))
5840mulid2d 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · (-1↑𝑁)) = (-1↑𝑁))
5958oveq1d 6830 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
6057, 59eqeq12d 2776 . . . . 5 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) ↔ ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
612oveq2i 6826 . . . . . . . 8 (2↑𝐻) = (2↑((𝑃 − 1) / 2))
6261oveq1i 6825 . . . . . . 7 ((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)
6362eqeq1i 2766 . . . . . 6 (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃))
64 2z 11622 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
65 lgsvalmod 25262 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6664, 1, 65sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
6766eqcomd 2767 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
6867eqeq1d 2763 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
691, 4, 2, 5gausslemma2dlem0i 25310 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7068, 69sylbid 230 . . . . . 6 (𝜑 → (((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7163, 70syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑𝐻) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7260, 71sylbid 230 . . . 4 (𝜑 → (((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) = ((1 · (-1↑𝑁)) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7339, 72syld 47 . . 3 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
7416, 73sylbid 230 . 2 (𝜑 → ((((-1↑𝑁) · (2↑𝐻)) mod 𝑃) = 1 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))
756, 74mpd 15 1 (𝜑 → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  cdif 3713  ifcif 4231  {csn 4322   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  4c4 11285  0cn0 11505  cz 11590  +crp 12046  ...cfz 12540  cfl 12806   mod cmo 12883  cexp 13075  cprime 15608   /L clgs 25240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-ioo 12393  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-prod 14856  df-dvds 15204  df-gcd 15440  df-prm 15609  df-phi 15694  df-pc 15765  df-lgs 25241
This theorem is referenced by:  2lgs  25353
  Copyright terms: Public domain W3C validator