MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gamcvg 24952
Description: The pointwise exponential of the series 𝐺 converges to Γ(𝐴) · 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamcvg.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
lgamcvg.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Assertion
Ref Expression
gamcvg (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11887 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11571 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 efcn 24367 . . . 4 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5 lgamcvg.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
65eldifad 3715 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
76adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
98peano2nnd 11200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
109nnrpd 12034 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
118nnrpd 12034 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1210, 11rpdivcld 12053 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1312relogcld 24539 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
1413recnd 10231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
157, 14mulcld 10223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
168nncnd 11199 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
178nnne0d 11228 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
187, 16, 17divcld 10964 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℂ)
19 1cnd 10219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
2018, 19addcld 10222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
215adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2221, 8dmgmdivn0 24924 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2320, 22logcld 24487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
2415, 23subcld 10555 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
25 lgamcvg.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
2624, 25fmptd 6536 . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℂ)
2726ffvelrnda 6510 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
281, 2, 27serf 12994 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
2925, 5lgamcvg 24950 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
30 lgamcl 24937 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
315, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
325dmgmn0 24922 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
336, 32logcld 24487 . . . 4 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3431, 33addcld 10222 . . 3 (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
351, 2, 4, 28, 29, 34climcncf 22875 . 2 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
36 efadd 14994 . . . 4 (((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
3731, 33, 36syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
38 eflgam 24941 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
395, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
40 eflog 24493 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
416, 32, 40syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
4239, 41oveq12d 6819 . . 3 (𝜑 → ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
4337, 42eqtrd 2782 . 2 (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
4435, 43breqtrd 4818 1 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  cdif 3700   class class class wbr 4792  cmpt 4869  ccom 5258  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  cmin 10429   / cdiv 10847  cn 11183  cz 11540  seqcseq 12966  cli 14385  expce 14962  cnccncf 22851  logclog 24471  log Γclgam 24912  Γcgam 24913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-sin 14970  df-cos 14971  df-tan 14972  df-pi 14973  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-lp 21113  df-perf 21114  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-cmp 21363  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-cncf 22853  df-limc 23800  df-dv 23801  df-ulm 24301  df-log 24473  df-cxp 24474  df-lgam 24915  df-gam 24916
This theorem is referenced by:  gamcvg2  24956
  Copyright terms: Public domain W3C validator