MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  galactghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem galactghm 18023
Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group 𝐺 and the symmetric group (SymGrp‘𝑌). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
galactghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
galactghm.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑌)
galactghm.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
galactghm ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐻   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑦)

Proof of Theorem galactghm
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 galactghm.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2760 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2760 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2760 . 2 (+g𝐻) = (+g𝐻)
5 gagrp 17925 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐺 ∈ Grp)
6 gaset 17926 . . 3 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝑌 ∈ V)
7 galactghm.h . . . 4 𝐻 = (SymGrp‘𝑌)
87symggrp 18020 . . 3 (𝑌 ∈ V → 𝐻 ∈ Grp)
96, 8syl 17 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐻 ∈ Grp)
10 eqid 2760 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦))
111, 10gapm 17939 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌)
126adantr 472 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ V)
137, 2elsymgbas 18002 . . . . 5 (𝑌 ∈ V → ((𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌))
1412, 13syl 17 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)):𝑌1-1-onto𝑌))
1511, 14mpbird 247 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) ∈ (Base‘𝐻))
16 galactghm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)))
1715, 16fmptd 6548 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
18 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝑧𝑋𝑤𝑋𝑦𝑌) ↔ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑦𝑌))
191, 3gaass 17930 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋𝑦𝑌)) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2018, 19sylan2br 494 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ ((𝑧𝑋𝑤𝑋) ∧ 𝑦𝑌)) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2120anassrs 683 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
2221mpteq2dva 4896 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
235adantr 472 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
24 simprl 811 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑧𝑋)
25 simprr 813 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑤𝑋)
261, 3grpcl 17631 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧(+g𝐺)𝑤) ∈ 𝑋)
2723, 24, 25, 26syl3anc 1477 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧(+g𝐺)𝑤) ∈ 𝑋)
286adantr 472 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
29 mptexg 6648 . . . . 5 (𝑌 ∈ V → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)) ∈ V)
3028, 29syl 17 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)) ∈ V)
31 oveq1 6820 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧(+g𝐺)𝑤) → (𝑥 𝑦) = ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦))
3231mpteq2dv 4897 . . . . 5 (𝑥 = (𝑧(+g𝐺)𝑤) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)))
3332, 16fvmptg 6442 . . . 4 (((𝑧(+g𝐺)𝑤) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)) ∈ V) → (𝐹‘(𝑧(+g𝐺)𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)))
3427, 30, 33syl2anc 696 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘(𝑧(+g𝐺)𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑧(+g𝐺)𝑤) 𝑦)))
3517adantr 472 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝐻))
3635, 24ffvelrnd 6523 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻))
3735, 25ffvelrnd 6523 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐻))
387, 2, 4symgov 18010 . . . . 5 (((𝐹𝑧) ∈ (Base‘𝐻) ∧ (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)))
3936, 37, 38syl2anc 696 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)))
401gaf 17928 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
4140ad2antrr 764 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
4225adantr 472 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑤𝑋)
43 simpr 479 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
4441, 42, 43fovrnd 6971 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑤 𝑦) ∈ 𝑌)
45 mptexg 6648 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)) ∈ V)
4628, 45syl 17 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)) ∈ V)
47 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 𝑦) = (𝑤 𝑦))
4847mpteq2dv 4897 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)))
4948, 16fvmptg 6442 . . . . . 6 ((𝑤𝑋 ∧ (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)) ∈ V) → (𝐹𝑤) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)))
5025, 46, 49syl2anc 696 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑤 𝑦)))
51 mptexg 6648 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)) ∈ V)
5228, 51syl 17 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)) ∈ V)
53 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 𝑦) = (𝑧 𝑦))
5453mpteq2dv 4897 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑥 𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)))
5554, 16fvmptg 6442 . . . . . . 7 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)) ∈ V) → (𝐹𝑧) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)))
5624, 52, 55syl2anc 696 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)))
57 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑧 𝑦) = (𝑧 𝑥))
5857cbvmptv 4902 . . . . . 6 (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 𝑦)) = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧 𝑥))
5956, 58syl6eq 2810 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹𝑧) = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧 𝑥)))
60 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑥 = (𝑤 𝑦) → (𝑧 𝑥) = (𝑧 (𝑤 𝑦)))
6144, 50, 59, 60fmptco 6559 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧) ∘ (𝐹𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
6239, 61eqtrd 2794 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑧 (𝑤 𝑦))))
6322, 34, 623eqtr4d 2804 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋)) → (𝐹‘(𝑧(+g𝐺)𝑤)) = ((𝐹𝑧)(+g𝐻)(𝐹𝑤)))
641, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 63isghmd 17870 1 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cmpt 4881   × cxp 5264  ccom 5270  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  Grpcgrp 17623   GrpHom cghm 17858   GrpAct cga 17922  SymGrpcsymg 17997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-tset 16162  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-ghm 17859  df-ga 17923  df-symg 17998
This theorem is referenced by:  cayleylem1  18032
  Copyright terms: Public domain W3C validator