MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzval3 12745
Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzval3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzval3
StepHypRef Expression
1 peano2z 11620 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2 fzoval 12679 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^(𝑁 + 1)) = (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)))
4 zcn 11584 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10196 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 pncan 10489 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
74, 5, 6sylancl 574 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
87oveq2d 6809 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
93, 8eqtr2d 2806 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = (𝑀..^(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  cz 11579  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674
This theorem is referenced by:  fz0add1fz1  12746  fzosn  12747  fzofzp1  12773  fzisfzounsn  12788  ffz0iswrd  13528  fzosump1  14689  telfsum  14743  telfsum2  14744  sadadd  15397  sadass  15401  smuval2  15412  smumul  15423  prmgaplem7  15968  volsup  23544  rplogsumlem2  25395  rpvmasumlem  25397  dchrisumlem2  25400  dchrisum0flblem1  25418  dchrisum0flb  25420  selberg2lem  25460  logdivbnd  25466  pntrsumo1  25475  pntrlog2bndlem2  25488  pntrlog2bndlem4  25490  pntlemr  25512  wlkdlem1  26814  wwlknvtx  26973  wwlksnred  27036  clwlksfclwwlk2wrdOLD  27239  clwlksf1clwwlklem3OLD  27248  1wlkdlem1  27317  eupth2lem3  27416  f1ocnt  29899  lmat22det  30228  meascnbl  30622  fibp1  30803  signsplypnf  30967  fsum2dsub  31025  mblfinlem2  33780  itgspltprt  40712  fourierdlem20  40861  carageniuncllem1  41255  smfmullem2  41519  iccpartgtprec  41884  fargshiftfo  41906  sbgoldbo  42203  nnsum4primeseven  42216  nnsum4primesevenALTV  42217  nn0sumshdiglemA  42941  nn0sumshdiglemB  42942
  Copyright terms: Public domain W3C validator