MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsplit2 12404
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12380 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
21zred 11520 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 eluzel2 11730 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
43adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
54zred 11520 . . . . . 6 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6 lelttric 10182 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥))
72, 5, 6syl2anr 494 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥))
8 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
9 elfz5 12372 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥𝐾))
108, 4, 9syl2anr 494 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ↔ 𝑥𝐾))
11 simpl 472 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
12 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
14 eluz 11739 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
1513, 1, 14syl2an 493 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
16 elfzuz3 12377 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
18 elfzuzb 12374 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
1918rbaib 967 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑥) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
21 zltp1le 11465 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
224, 1, 21syl2an 493 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < 𝑥 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑥))
2315, 20, 223bitr4d 300 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < 𝑥))
2410, 23orbi12d 746 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥𝐾𝐾 < 𝑥)))
257, 24mpbird 247 . . . 4 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
26 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
2726adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
28 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
29 elfzuz3 12377 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑥))
30 uztrn 11742 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3128, 29, 30syl2an 493 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
32 elfzuzb 12374 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑥)))
3327, 31, 32sylanbrc 699 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
34 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
35 uztrn 11742 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3634, 11, 35syl2anr 494 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
37 elfzuz3 12377 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3837adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑥))
3936, 38, 32sylanbrc 699 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4033, 39jaodan 843 . . . 4 ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4125, 40impbida 895 . . 3 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
42 elun 3786 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...𝐾) ∨ 𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
4341, 42syl6bbr 278 . 2 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
4443eqrdv 2649 1 (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  fzsplit  12405  fzpred  12427  fz0to4untppr  12481  fallfacval4  14818  fsumharmonic  24783  gausslemma2dlem6  25142  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem3  25253  pntrsumbnd2  25301  pntrlog2bndlem6a  25316  pntlemf  25339  fzspl  29678  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem8  33547  poimirlem12  33551  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem18  33557  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem25  33564  poimirlem26  33565  poimirlem28  33567  poimirlem29  33568  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571
  Copyright terms: Public domain W3C validator