Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzspl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzspl 29890
Description: Split the last element of a finite set of sequential integers. (more generic than fzsuc 12595) (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzspl (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzspl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11898 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 11685 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 1zzd 11610 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℤ)
43zcnd 11685 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℂ)
52, 4npcand 10598 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65eleq1d 2835 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
76ibir 257 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
8 eluzelre 11899 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
98lem1d 11159 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
101, 3zsubcld 11689 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
11 eluz1 11892 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)))
131, 9, 12mpbir2and 692 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
14 fzsplit2 12573 . . 3 ((((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1))) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
157, 13, 14syl2anc 573 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)))
165oveq1d 6808 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑁...𝑁))
17 fzsn 12590 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
181, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
1916, 18eqtrd 2805 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁) = {𝑁})
2019uneq2d 3918 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ (((𝑁 − 1) + 1)...𝑁)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2115, 20eqtrd 2805 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  {csn 4316   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139   + caddc 10141  cle 10277  cmin 10468  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  fzdif2  29891  ballotlemfp1  30893
  Copyright terms: Public domain W3C validator