Theorem fzsn 12596

Description: A finite interval of integers with one element. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzsn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Proof of Theorem fzsn

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1eq 12565	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 = 𝑀)
2		elfz3 12564	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
3		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀)))
4	2, 3	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑀 → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)))
5	1, 4	impbid2 216	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 = 𝑀))
6		velsn 4337	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
7	5, 6	syl6bbr 278	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑘 ∈ {𝑀}))
8	7	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {csn 4321  (class class class)co 6814  ℤcz 11589  ...cfz 12539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540

This theorem is referenced by:  fzsuc  12601  fzpred  12602  fzpr  12609  fzsuc2  12611  fz0sn  12653  fz0sn0fz1  12670  fzosn  12753  seqf1o  13056  hashsng  13371  sumsnf  14692  sumsn  14694  fsum1  14695  fsumm1  14699  fsum1p  14701  prodsn  14911  fprod1  14912  prodsnf  14913  fprod1p  14917  fprodabs  14923  binomfallfac  14991  ef0lem  15028  fprodefsum  15044  phi1  15700  4sqlem19  15889  vdwlem8  15914  strle1  16195  gsumws1  17597  telgsumfzs  18606  srgbinom  18765  pmatcollpw3fi1lem1  20813  pmatcollpw3fi1  20815  imasdsf1olem  22399  voliunlem1  23538  ply1termlem  24178  pntpbnd1  25495  0wlkons1  27294  iuninc  29707  fzspl  29880  esumfzf  30461  ballotlemfc0  30884  ballotlemfcc  30885  plymulx0  30954  signstf0  30975  subfac1  31488  subfacp1lem1  31489  subfacp1lem5  31494  subfacp1lem6  31495  cvmliftlem10  31604  fwddifn0  32598  poimirlem2  33742  poimirlem3  33743  poimirlem4  33744  poimirlem6  33746  poimirlem7  33747  poimirlem13  33753  poimirlem14  33754  poimirlem16  33756  poimirlem17  33757  poimirlem18  33758  poimirlem19  33759  poimirlem20  33760  poimirlem21  33761  poimirlem22  33762  poimirlem26  33766  poimirlem28  33768  poimirlem31  33771  poimirlem32  33772  sdclem1  33870  fdc  33872  trclfvdecomr  38540  k0004val0  38972  sumsnd  39702  fzdifsuc2  40041  dvnmul  40679  stoweidlem17  40755  carageniuncllem1  41259  caratheodorylem1  41264  hoidmvlelem3  41335  fzopredsuc  41861  sbgoldbo  42203  nnsum3primesprm  42206