MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzp1disj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzp1disj 12613
Description: (𝑀...(𝑁 + 1)) is the disjoint union of (𝑀...𝑁) with {(𝑁 + 1)}. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzp1disj ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Proof of Theorem fzp1disj
StepHypRef Expression
1 elfzle2 12559 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
2 elfzel2 12554 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
32zred 11695 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4 ltp1 11074 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5 peano2re 10422 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6 ltnle 10330 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
75, 6mpdan 705 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
84, 7mpbid 222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
93, 8syl 17 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
101, 9pm2.65i 185 . 2 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
11 disjsn 4391 . 2 (((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
1210, 11mpbir 221 1 ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1632  wcel 2140  cin 3715  c0 4059  {csn 4322   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  cr 10148  1c1 10150   + caddc 10152   < clt 10287  cle 10288  ...cfz 12540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541
This theorem is referenced by:  fzdifsuc  12614  fseq1p1m1  12628  fzennn  12982  gsummptfzsplit  18553  telgsumfzslem  18606  imasdsf1olem  22400  wlkp1  26810  esumfzf  30462  subfacp1lem6  31496  mapfzcons  37800  mapfzcons1  37801  mapfzcons2  37803  sge0p1  41153
  Copyright terms: Public domain W3C validator