MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitprm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplitprm1 12772
Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitprm1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))

Proof of Theorem fzosplitprm1
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2zm 11612 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
323ad2ant2 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
4 zltlem1 11622 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
54biimp3a 1581 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 − 1))
6 eluz2 11885 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 − 1)))
71, 3, 5, 6syl3anbrc 1429 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
8 fzosplitpr 12771 . . 3 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
10 zcn 11574 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 1cnd 10248 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
12 2cnd 11285 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
1310, 11, 12subadd23d 10606 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 2) = (𝐵 + (2 − 1)))
14 2m1e1 11327 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
1514oveq2i 6824 . . . . . 6 (𝐵 + (2 − 1)) = (𝐵 + 1)
1613, 15syl6req 2811 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) = ((𝐵 − 1) + 2))
1716oveq2d 6829 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)))
18 npcan1 10647 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
1910, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
2019eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
2120preq2d 4419 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → {(𝐵 − 1), 𝐵} = {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})
2221uneq2d 3910 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)}))
2317, 22eqeq12d 2775 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
24233ad2ant2 1129 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}) ↔ (𝐴..^((𝐵 − 1) + 2)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), ((𝐵 − 1) + 1)})))
259, 24mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴..^(𝐵 + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1), 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cun 3713  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  2c2 11262  cz 11569  cuz 11879  ..^cfzo 12659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator