MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplit 12709
Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplit (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) = ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzosplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶))
2 elfzelz 12549 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐷 ∈ ℤ)
32adantr 466 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
4 fzospliti 12708 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
51, 3, 4syl2anc 573 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
6 elun 3904 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝑥 ∈ (𝐷..^𝐶)))
75, 6sylibr 224 . . . 4 ((𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
87ex 397 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝑥 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝑥 ∈ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶))))
98ssrdv 3758 . 2 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
10 elfzuz3 12546 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐷))
11 fzoss2 12704 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐷) → (𝐵..^𝐷) ⊆ (𝐵..^𝐶))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐷) ⊆ (𝐵..^𝐶))
13 elfzuz 12545 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
14 fzoss1 12703 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐷..^𝐶) ⊆ (𝐵..^𝐶))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐷..^𝐶) ⊆ (𝐵..^𝐶))
1612, 15unssd 3940 . 2 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)) ⊆ (𝐵..^𝐶))
179, 16eqssd 3769 1 (𝐷 ∈ (𝐵...𝐶) → (𝐵..^𝐶) = ((𝐵..^𝐷) ∪ (𝐷..^𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  wss 3723  cfv 6031  (class class class)co 6793  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674
This theorem is referenced by:  fzoun  12713  fzosplitsnm1  12751  fzo0to42pr  12763  fzo0sn0fzo1  12765  fzosplitsn  12784  ccatrn  13571  2swrdeqwrdeq  13662  dchrisumlem1  25399  dchrisumlem2  25400  crctcshwlkn0lem7  26944  wwlksnext  27037  fsum2dsub  31025  fzopred  41860  pfxsuffeqwrdeq  41934
  Copyright terms: Public domain W3C validator