Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzopredsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzopredsuc 41658
Description: Join a predecessor and a successor to the beginning and the end of an open integer interval. This theorem holds even if 𝑁 = 𝑀 (then (𝑀...𝑁) = {𝑀} = ({𝑀} ∪ ∅) ∪ {𝑀}). (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzopredsuc (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzopredsuc
StepHypRef Expression
1 unidm 3789 . . . . . 6 ({𝑁} ∪ {𝑁}) = {𝑁}
21eqcomi 2660 . . . . 5 {𝑁} = ({𝑁} ∪ {𝑁})
3 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (𝑁...𝑁))
4 fzsn 12421 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
53, 4sylan9eqr 2707 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = {𝑁})
6 sneq 4220 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → {𝑀} = {𝑁})
7 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 + 1) = (𝑁 + 1))
87oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑁 + 1)..^𝑁))
96, 8uneq12d 3801 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑁 → ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)))
109uneq1d 3799 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
11 zre 11419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1211lep1d 10993 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
13 peano2z 11456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1413zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1511, 14lenltd 10221 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁))
1612, 15mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁)
17 fzonlt0 12530 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
1813, 17mpancom 704 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
1916, 18mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅)
2019uneq2d 3800 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ∅))
21 un0 4000 . . . . . . . 8 ({𝑁} ∪ ∅) = {𝑁}
2220, 21syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = {𝑁})
2322uneq1d 3799 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
2410, 23sylan9eqr 2707 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
252, 5, 243eqtr4a 2711 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
2625ex 449 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
27 eluzelz 11735 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2826, 27syl11 33 . 2 (𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
29 fzisfzounsn 12620 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
3029adantl 481 . . . 4 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
31 eluz2 11731 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
32 simpl1 1084 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 simpl2 1085 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
34 nesym 2879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
35 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
36 ltlen 10176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
3735, 11, 36syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
3837biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
3938exp4b 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))))
40393imp 1275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
4134, 40syl5bir 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁))
4241imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
4332, 33, 423jca 1261 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
4443ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
4531, 44sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
4645impcom 445 . . . . . 6 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
47 fzopred 41657 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
4846, 47syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
4948uneq1d 3799 . . . 4 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
5030, 49eqtrd 2685 . . 3 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
5150ex 449 . 2 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
5228, 51pm2.61i 176 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cun 3605  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  1fzopredsuc  41659  sbgoldbo  42000
  Copyright terms: Public domain W3C validator