MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofzp1 12759
Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofzp1 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))

Proof of Theorem fzofzp1
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 12662 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 uzid 11894 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
3 peano2uz 11934 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
4 fzoss1 12689 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)) ⊆ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
6 1z 11599 . . . 4 1 ∈ ℤ
7 fzoaddel 12715 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
86, 7mpan2 709 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ ((𝐴 + 1)..^(𝐵 + 1)))
95, 8sseldd 3745 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴..^(𝐵 + 1)))
10 elfzoel2 12663 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 fzval3 12731 . . 3 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐴...𝐵) = (𝐴..^(𝐵 + 1)))
139, 12eleqtrrd 2842 1 (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   + caddc 10131  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660
This theorem is referenced by:  fzofzp1b  12760  seqcaopr3  13030  seqcaopr2  13031  seqf1olem2a  13033  swrds1  13651  swrds2  13885  telfsumo  14733  telfsumo2  14734  fsumparts  14737  prodfn0  14825  prodfrec  14826  psgnunilem2  18115  gsumzaddlem  18521  dvfsumle  23983  dvfsumge  23984  dvfsumabs  23985  dvntaylp  24324  taylthlem2  24327  pntlemr  25490  pntlemj  25491  uspgr2wlkeq  26752  wlkres  26777  wlkp1lem6  26785  pthdadjvtx  26836  upgrwlkdvdelem  26842  crctcshwlkn0lem4  26916  crctcshwlkn0lem5  26917  wwlksnred  27010  trlsegvdeglem1  27372  poimirlem24  33746  poimirlem25  33747  poimirlem29  33751  poimirlem31  33753  monoords  40010  fmul01  40315  dvnmptdivc  40656  dvnmul  40661  stoweidlem3  40723  fourierdlem1  40828  fourierdlem12  40839  fourierdlem14  40841  fourierdlem15  40842  fourierdlem20  40847  fourierdlem25  40852  fourierdlem27  40854  fourierdlem41  40868  fourierdlem46  40872  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875  fourierdlem50  40876  fourierdlem54  40880  fourierdlem63  40889  fourierdlem64  40890  fourierdlem65  40891  fourierdlem69  40895  fourierdlem70  40896  fourierdlem71  40897  fourierdlem72  40898  fourierdlem73  40899  fourierdlem74  40900  fourierdlem75  40901  fourierdlem76  40902  fourierdlem79  40905  fourierdlem80  40906  fourierdlem81  40907  fourierdlem84  40910  fourierdlem88  40914  fourierdlem89  40915  fourierdlem90  40916  fourierdlem91  40917  fourierdlem92  40918  fourierdlem93  40919  fourierdlem94  40920  fourierdlem97  40923  fourierdlem101  40927  fourierdlem102  40928  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fourierdlem111  40937  fourierdlem113  40939  fourierdlem114  40940  fzopred  41842  iccpartipre  41867  iccelpart  41879  iccpartiun  41880  icceuelpartlem  41881  icceuelpart  41882  iccpartdisj  41883  iccpartnel  41884  bgoldbtbndlem2  42204  bgoldbtbndlem3  42205
  Copyright terms: Public domain W3C validator