MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofzim 12630
Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzofzim ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12545 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀))
2 simpl1 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 necom 2949 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
4 nn0re 11414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
5 nn0re 11414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
6 ltlen 10251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
74, 5, 6syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
87bicomd 213 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9 elnn0z 11503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10 0red 10154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11 zre 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
135adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14 lelttr 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
1510, 12, 13, 14syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
16 nn0z 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
17 elnnz 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1817simplbi2 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2019adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2115, 20syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
2221expd 451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2322impancom 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
249, 23sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2524imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
268, 25sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
2726expd 451 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝑀 ∈ ℕ)))
283, 27syl7bi 245 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
29283impia 1109 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ))
3029imp 444 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
318biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
3231exp4b 633 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))))
33323imp 1101 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))
343, 33syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝐾 < 𝑀))
3534imp 444 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
362, 30, 353jca 1379 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
3736ex 449 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
381, 37sylbi 207 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
3938impcom 445 . 2 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40 elfzo0 12624 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
4139, 40sylibr 224 1 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2103  wne 2896   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049   < clt 10187  cle 10188  cn 11133  0cn0 11405  cz 11490  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581
This theorem is referenced by:  cshwshashlem1  15925  clwwisshclwwsn  27060
  Copyright terms: Public domain W3C validator