MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofi 12967
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi (𝑀..^𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 12665 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
21adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3 fzfi 12965 . . 3 (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
42, 3syl6eqel 2847 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
5 fzof 12661 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
65fdmi 6213 . . . 4 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
76ndmov 6983 . . 3 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8 0fin 8353 . . 3 ∅ ∈ Fin
97, 8syl6eqel 2847 . 2 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
104, 9pm2.61i 176 1 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  c0 4058  𝒫 cpw 4302   × cxp 5264  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  1c1 10129  cmin 10458  cz 11569  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660
This theorem is referenced by:  uzindi  12975  fnfzo0hashnn0  13427  wrdfin  13509  hashwrdn  13523  ccatalpha  13565  telfsumo  14733  fsumparts  14737  geoserg  14797  bitsfi  15361  bitsinv1  15366  bitsinvp1  15373  sadcaddlem  15381  sadadd2lem  15383  sadadd3  15385  sadaddlem  15390  sadasslem  15394  sadeq  15396  crth  15685  phimullem  15686  eulerthlem2  15689  eulerth  15690  phisum  15697  prmgaplem3  15959  cshwshashnsame  16012  ablfaclem3  18686  ablfac2  18688  iunmbl  23521  volsup  23524  dvfsumle  23983  dvfsumge  23984  dvfsumabs  23985  advlogexp  24600  dchrisumlem1  25377  dchrisumlem2  25378  dchrisum  25380  vdegp1bi  26643  eupthfi  27357  trlsegvdeglem6  27377  fz1nnct  29869  sigapildsys  30534  carsgclctunlem3  30691  ccatmulgnn0dir  30928  ofcccat  30929  signsplypnf  30936  signsvvf  30965  prodfzo03  30990  fsum2dsub  30994  reprle  31001  reprsuc  31002  reprfi  31003  reprlt  31006  hashreprin  31007  reprgt  31008  reprinfz1  31009  reprpmtf1o  31013  breprexplema  31017  breprexplemc  31019  breprexpnat  31021  circlemeth  31027  circlemethnat  31028  circlevma  31029  circlemethhgt  31030  hgt750lema  31044  mvrsfpw  31710  poimirlem26  33748  poimirlem27  33749  poimirlem28  33750  poimirlem30  33752  amgm2d  39003  amgm3d  39004  amgm4d  39005  fourierdlem25  40852  fourierdlem70  40896  fourierdlem71  40897  fourierdlem73  40899  fourierdlem79  40905  fourierdlem80  40906  meaiunlelem  41188  pwdif  42011  2pwp1prm  42013  nn0sumshdiglemA  42923  nn0sumshdiglemB  42924  nn0mullong  42929  amgmw2d  43063
  Copyright terms: Public domain W3C validator