Theorem fzof 12661

Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzof	⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzof

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzssuz 12575	. . . . 5 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑚)
2		uzssz 11899	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑚) ⊆ ℤ
3	1, 2	sstri 3753	. . . 4 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ
4		ovex 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ V
5	4	elpw 4308	. . . 4 ⊢ ((𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ (𝑚...(𝑛 − 1)) ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbir 221	. . 3 ⊢ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
7	6	rgen2w 3063	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ
8		df-fzo 12660	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
9	8	fmpt2 7405	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑚...(𝑛 − 1)) ∈ 𝒫 ℤ ↔ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
10	7, 9	mpbi 220	1 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302   × cxp 5264  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1c1 10129   − cmin 10458  ℤcz 11569  ℤ_≥cuz 11879  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-neg 10461  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660

This theorem is referenced by:  elfzoel1  12662  elfzoel2  12663  elfzoelz  12664  fzoval  12665  fzofi  12967