MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0sn0fzo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0sn0fzo1 12765
Description: A half-open range of nonnegative integers is the union of the singleton set containing 0 and a half-open range of positive integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzo0sn0fzo1 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = ({0} ∪ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem fzo0sn0fzo1
StepHypRef Expression
1 1nn0 11515 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
3 nnnn0 11506 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 nnge1 11252 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
5 elfz2nn0 12638 . . . 4 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
62, 3, 4, 5syl3anbrc 1428 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
7 fzosplit 12709 . . 3 (1 ∈ (0...𝑁) → (0..^𝑁) = ((0..^1) ∪ (1..^𝑁)))
86, 7syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = ((0..^1) ∪ (1..^𝑁)))
9 fzo01 12758 . . . 4 (0..^1) = {0}
109a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^1) = {0})
1110uneq1d 3917 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((0..^1) ∪ (1..^𝑁)) = ({0} ∪ (1..^𝑁)))
128, 11eqtrd 2805 1 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) = ({0} ∪ (1..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  {csn 4317   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143  cle 10281  cn 11226  0cn0 11499  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674
This theorem is referenced by:  elfzo0l  12766  nnnn0modprm0  15718  pthdlem1  26897  circlemethhgt  31061  bgoldbtbnd  42222
  Copyright terms: Public domain W3C validator