MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzn0 12393
Description: Properties of a finite interval of integers which is nonempty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzn0 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem fzn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3964 . . 3 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzuz2 12384 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
32exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
41, 3sylbi 207 . 2 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzfz1 12386 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
6 ne0i 3954 . . 3 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
75, 6syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
84, 7impbii 199 1 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  fzn  12395  fzfi  12811  fseqsupcl  12816  fsumrev2  14558  gsumval3  18354  pmatcollpw3fi  20638  iscmet3  23137  dchrisum0flblem1  25242  pntrsumbnd2  25301  wlkn0  26572  fzdifsuc2  39838  stoweidlem26  40561
  Copyright terms: Public domain W3C validator