Theorem fzn0 12393

Description: Properties of a finite interval of integers which is nonempty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzn0	⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem fzn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3964	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz2 12384	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	exlimiv 1898	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 3	sylbi 207	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzfz1 12386	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
6		ne0i 3954	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
8	4, 7	impbii 199	1 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   ↔ wb 196  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℤ_≥cuz 11725  ...cfz 12364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365

This theorem is referenced by:  fzn  12395  fzfi  12811  fseqsupcl  12816  fsumrev2  14558  gsumval3  18354  pmatcollpw3fi  20638  iscmet3  23137  dchrisum0flblem1  25242  pntrsumbnd2  25301  wlkn0  26572  fzdifsuc2  39838  stoweidlem26  40561