Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzisoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzisoeu 40039
Description: A finite ordered set has a unique order isomorphism to a generic finite sequence of integers. This theorem generalizes fz1iso 13470 for the base index and also states the uniqueness condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fzisoeu.h (𝜑𝐻 ∈ Fin)
fzisoeu.or (𝜑 → < Or 𝐻)
fzisoeu.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzisoeu.4 𝑁 = ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1))
Assertion
Ref Expression
fzisoeu (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐻   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem fzisoeu
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 12572 . . . . . . . . 9 (𝑀...𝑁) ⊆ ℤ
2 zssre 11608 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3767 . . . . . . . 8 (𝑀...𝑁) ⊆ ℝ
4 ltso 10341 . . . . . . . 8 < Or ℝ
5 soss 5202 . . . . . . . 8 ((𝑀...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (𝑀...𝑁)))
63, 4, 5mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝑀...𝑁)
7 fzfi 13001 . . . . . . 7 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
8 fz1iso 13470 . . . . . . 7 (( < Or (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)))
96, 7, 8mp2an 673 . . . . . 6 Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁))
10 fzisoeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1))
11 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐻 = ∅ → (♯‘𝐻) = (♯‘∅))
12 hash0 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘∅) = 0
1311, 12syl6eq 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 = ∅ → (♯‘𝐻) = 0)
1413oveq1d 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ∅ → ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) = (0 + (𝑀 − 1)))
1510, 14syl5eq 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ → 𝑁 = (0 + (𝑀 − 1)))
1615oveq2d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
1716adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
18 fzisoeu.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918zcnd 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
20 1cnd 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20subcld 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
2221addid2d 10460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 + (𝑀 − 1)) = (𝑀 − 1))
2322oveq2d 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
2418zred 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2524ltm1d 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
26 peano2zm 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2718, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
28 fzn 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
2918, 27, 28syl2anc 574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
3025, 29mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
3123, 30eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
3231adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
33 eqcom 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ ↔ ∅ = 𝐻)
3433biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → ∅ = 𝐻)
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → ∅ = 𝐻)
3617, 32, 353eqtrd 2812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = 𝐻)
3736fveq2d 6352 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
3820, 19pncan3d 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (𝑀 − 1)) = 𝑀)
3938eqcomd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
41 1red 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ∈ ℝ)
42 neqne 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = ∅ → 𝐻 ≠ ∅)
4342adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ≠ ∅)
44 fzisoeu.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
4544adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ∈ Fin)
46 hashnncl 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4843, 47mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
4948nnred 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
5027zred 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5248nnge1d 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐻))
5341, 49, 51, 52leadd1dd 10864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)))
5453, 10syl6breqr 4839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
5540, 54eqbrtrd 4819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀𝑁)
5618adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 hashcl 13371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
58 nn0z 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐻) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
5944, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
6059, 27zaddcld 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
6110, 60syl5eqel 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6261adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ ℤ)
63 eluz 11924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6456, 62, 63syl2anc 574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6555, 64mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
66 hashfz 13438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6810oveq1i 6822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀) = (((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀)
6944, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
7069nn0cnd 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℂ)
7170, 21, 19addsubassd 10635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀) = ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7268, 71syl5eq 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7319, 20negsubd 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 + -1) = (𝑀 − 1))
7473eqcomd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (𝑀 + -1))
7574oveq1d 6827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀 − 1) − 𝑀) = ((𝑀 + -1) − 𝑀))
7620negcld 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
7719, 76pncan2d 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀 + -1) − 𝑀) = -1)
7875, 77eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) − 𝑀) = -1)
7978oveq2d 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)) = ((♯‘𝐻) + -1))
8072, 79eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((♯‘𝐻) + -1))
8180oveq1d 6827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) = (((♯‘𝐻) + -1) + 1))
8281adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((𝑁𝑀) + 1) = (((♯‘𝐻) + -1) + 1))
8370, 20negsubd 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐻) + -1) = ((♯‘𝐻) − 1))
8483oveq1d 6827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (((♯‘𝐻) − 1) + 1))
8570, 20npcand 10619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐻) − 1) + 1) = (♯‘𝐻))
8684, 85eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (♯‘𝐻))
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (((♯‘𝐻) + -1) + 1) = (♯‘𝐻))
8867, 82, 873eqtrd 2812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
8937, 88pm2.61dan 836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝑀...𝑁)) = (♯‘𝐻))
9089oveq2d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(♯‘(𝑀...𝑁))) = (1...(♯‘𝐻)))
91 isoeq4 6732 . . . . . . . . 9 ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))) = (1...(♯‘𝐻)) → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9392biimpd 220 . . . . . . 7 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9493eximdv 2001 . . . . . 6 (𝜑 → (∃ Isom < , < ((1...(♯‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
959, 94mpi 20 . . . . 5 (𝜑 → ∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)))
96 fzisoeu.or . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐻)
97 fz1iso 13470 . . . . . 6 (( < Or 𝐻𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
9896, 44, 97syl2anc 574 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
99 eeanv 2347 . . . . 5 (∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) ↔ (∃ Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)))
10095, 98, 99sylanbrc 573 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)))
101 isocnv 6742 . . . . . . . 8 ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))))
102101ad2antrl 708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))))
103 simprr 778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))
104 isotr 6748 . . . . . . 7 (( Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(♯‘𝐻))) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
105102, 103, 104syl2anc 574 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻))) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
106105ex 398 . . . . 5 (𝜑 → (( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
1071062eximdv 2003 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔( Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐻)), 𝐻)) → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
108100, 107mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
109 vex 3358 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
110 vex 3358 . . . . . . . 8 ∈ V
111110cnvex 7281 . . . . . . 7 ∈ V
112109, 111coex 7286 . . . . . 6 (𝑔) ∈ V
113 isoeq1 6729 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
114112, 113spcev 3456 . . . . 5 ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
115114a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
116115exlimdvv 2017 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
117108, 116mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
118 ltwefz 12992 . . 3 < We (𝑀...𝑁)
119 wemoiso 7321 . . 3 ( < We (𝑀...𝑁) → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
120118, 119mp1i 13 . 2 (𝜑 → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
121 eu5 2647 . 2 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ∧ ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
122117, 120, 121sylanbrc 573 1 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 383   = wceq 1634  wex 1855  wcel 2148  ∃!weu 2621  ∃*wmo 2622  wne 2946  wss 3729  c0 4073   class class class wbr 4797   Or wor 5183   We wwe 5221  ccnv 5262  ccom 5267  cfv 6042   Isom wiso 6043  (class class class)co 6812  Fincfn 8130  cr 10158  0cc0 10159  1c1 10160   + caddc 10162   < clt 10297  cle 10298  cmin 10489  -cneg 10490  cn 11243  0cn0 11516  cz 11601  cuz 11910  ...cfz 12555  chash 13343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-oi 8592  df-card 8986  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556  df-hash 13344
This theorem is referenced by:  fourierdlem36  40883
  Copyright terms: Public domain W3C validator