Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzisoeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzisoeu 39828
Description: A finite ordered set has a unique order isomorphism to a generic finite sequence of integers. This theorem generalizes fz1iso 13284 for the base index and also states the uniqueness condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fzisoeu.h (𝜑𝐻 ∈ Fin)
fzisoeu.or (𝜑 → < Or 𝐻)
fzisoeu.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzisoeu.4 𝑁 = ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1))
Assertion
Ref Expression
fzisoeu (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐻   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem fzisoeu
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 12381 . . . . . . . . 9 (𝑀...𝑁) ⊆ ℤ
2 zssre 11422 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3645 . . . . . . . 8 (𝑀...𝑁) ⊆ ℝ
4 ltso 10156 . . . . . . . 8 < Or ℝ
5 soss 5082 . . . . . . . 8 ((𝑀...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (𝑀...𝑁)))
63, 4, 5mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝑀...𝑁)
7 fzfi 12811 . . . . . . 7 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
8 fz1iso 13284 . . . . . . 7 (( < Or (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → ∃ Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)))
96, 7, 8mp2an 708 . . . . . 6 Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁))
10 fzisoeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1))
11 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐻 = ∅ → (#‘𝐻) = (#‘∅))
12 hash0 13196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (#‘∅) = 0
1311, 12syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 = ∅ → (#‘𝐻) = 0)
1413oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ∅ → ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)) = (0 + (𝑀 − 1)))
1510, 14syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ → 𝑁 = (0 + (𝑀 − 1)))
1615oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))))
18 fzisoeu.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1918zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
20 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
2221addid2d 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 + (𝑀 − 1)) = (𝑀 − 1))
2322oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
2418zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2524ltm1d 10994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
26 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2718, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
28 fzn 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
2918, 27, 28syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
3025, 29mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
3123, 30eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...(0 + (𝑀 − 1))) = ∅)
33 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 = ∅ ↔ ∅ = 𝐻)
3433biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 = ∅ → ∅ = 𝐻)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐻 = ∅) → ∅ = 𝐻)
3617, 32, 353eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐻 = ∅) → (𝑀...𝑁) = 𝐻)
3736fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐻 = ∅) → (#‘(𝑀...𝑁)) = (#‘𝐻))
3820, 19pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + (𝑀 − 1)) = 𝑀)
3938eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 = (1 + (𝑀 − 1)))
41 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ∈ ℝ)
42 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐻 = ∅ → 𝐻 ≠ ∅)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ≠ ∅)
44 fzisoeu.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝐻 ∈ Fin)
46 hashnncl 13195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐻 ∈ Fin → ((#‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((#‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
4843, 47mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (#‘𝐻) ∈ ℕ)
4948nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (#‘𝐻) ∈ ℝ)
5027zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
5248nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 1 ≤ (#‘𝐻))
5341, 49, 51, 52leadd1dd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)))
5453, 10syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (1 + (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
5540, 54eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀𝑁)
5618adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ Fin → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
58 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝐻) ∈ ℕ0 → (#‘𝐻) ∈ ℤ)
5944, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℤ)
6059, 27zaddcld 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
6110, 60syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ ℤ)
63 eluz 11739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6456, 62, 63syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6555, 64mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
66 hashfz 13252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (#‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (#‘(𝑀...𝑁)) = ((𝑁𝑀) + 1))
6810oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀) = (((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀)
6944, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
7069nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℂ)
7170, 21, 19addsubassd 10450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((#‘𝐻) + (𝑀 − 1)) − 𝑀) = ((#‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7268, 71syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((#‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)))
7319, 20negsubd 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 + -1) = (𝑀 − 1))
7473eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 − 1) = (𝑀 + -1))
7574oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀 − 1) − 𝑀) = ((𝑀 + -1) − 𝑀))
7620negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
7719, 76pncan2d 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀 + -1) − 𝑀) = -1)
7875, 77eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) − 𝑀) = -1)
7978oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((#‘𝐻) + ((𝑀 − 1) − 𝑀)) = ((#‘𝐻) + -1))
8072, 79eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑀) = ((#‘𝐻) + -1))
8180oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) = (((#‘𝐻) + -1) + 1))
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → ((𝑁𝑀) + 1) = (((#‘𝐻) + -1) + 1))
8370, 20negsubd 10436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((#‘𝐻) + -1) = ((#‘𝐻) − 1))
8483oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐻) + -1) + 1) = (((#‘𝐻) − 1) + 1))
8570, 20npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐻) − 1) + 1) = (#‘𝐻))
8684, 85eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((#‘𝐻) + -1) + 1) = (#‘𝐻))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (((#‘𝐻) + -1) + 1) = (#‘𝐻))
8867, 82, 873eqtrd 2689 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐻 = ∅) → (#‘(𝑀...𝑁)) = (#‘𝐻))
8937, 88pm2.61dan 849 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝑀...𝑁)) = (#‘𝐻))
9089oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(#‘(𝑀...𝑁))) = (1...(#‘𝐻)))
91 isoeq4 6610 . . . . . . . . 9 ((1...(#‘(𝑀...𝑁))) = (1...(#‘𝐻)) → ( Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) ↔ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9392biimpd 219 . . . . . . 7 (𝜑 → ( Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
9493eximdv 1886 . . . . . 6 (𝜑 → (∃ Isom < , < ((1...(#‘(𝑀...𝑁))), (𝑀...𝑁)) → ∃ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁))))
959, 94mpi 20 . . . . 5 (𝜑 → ∃ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)))
96 fzisoeu.or . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐻)
97 fz1iso 13284 . . . . . 6 (( < Or 𝐻𝐻 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))
9896, 44, 97syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))
99 eeanv 2218 . . . . 5 (∃𝑔( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)) ↔ (∃ Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)))
10095, 98, 99sylanbrc 699 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)))
101 isocnv 6620 . . . . . . . 8 ( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(#‘𝐻))))
102101ad2antrl 764 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))) → Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(#‘𝐻))))
103 simprr 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))
104 isotr 6626 . . . . . . 7 (( Isom < , < ((𝑀...𝑁), (1...(#‘𝐻))) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
105102, 103, 104syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻))) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
106105ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)) → (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
1071062eximdv 1888 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔( Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐻)), 𝐻)) → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
108100, 107mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
109 vex 3234 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
110 vex 3234 . . . . . . . 8 ∈ V
111110cnvex 7155 . . . . . . 7 ∈ V
112109, 111coex 7160 . . . . . 6 (𝑔) ∈ V
113 isoeq1 6607 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔) → (𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
114112, 113spcev 3331 . . . . 5 ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
115114a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
116115exlimdvv 1902 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔) Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
117108, 116mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
118 ltwefz 12802 . . 3 < We (𝑀...𝑁)
119 wemoiso 7195 . . 3 ( < We (𝑀...𝑁) → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
120118, 119mp1i 13 . 2 (𝜑 → ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
121 eu5 2524 . 2 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ↔ (∃𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻) ∧ ∃*𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻)))
122117, 120, 121sylanbrc 699 1 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((𝑀...𝑁), 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  ∃!weu 2498  ∃*wmo 2499  wne 2823  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685   Or wor 5063   We wwe 5101  ccnv 5142  ccom 5147  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  fourierdlem36  40678
  Copyright terms: Public domain W3C validator