MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzind 11513
Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind.1 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
fzind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fzind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fzind.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fzind.5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)
fzind.6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fzind (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind
StepHypRef Expression
1 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥𝑁𝑀𝑁))
21anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁)))
3 fzind.1 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
42, 3imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)))
5 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑁𝑦𝑁))
65anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁)))
7 fzind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
86, 7imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒)))
9 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
109anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
11 fzind.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
1210, 11imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
13 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥𝑁𝐾𝑁))
1413anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁)))
15 fzind.4 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
1614, 15imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑁) → 𝜑) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁) → 𝜏)))
17 fzind.5 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)
18173expib 1287 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓))
19 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
20 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21 p1le 10904 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑦𝑁)
22213expia 1286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁𝑦𝑁))
2319, 20, 22syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁𝑦𝑁))
2423imdistanda 729 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁)))
2524imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
26253ad2ant2 1103 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒)))
27 zltp1le 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
2827adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁))
2928expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (𝑦 < 𝑁 ↔ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
3029pm5.32d 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁)))
32 fzind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3332expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒𝜃)))
34333expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝜒𝜃)))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3631, 35sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3736ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃))))
3837com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃))))
3938expd 451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃)))))
40393impib 1281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝜒𝜃))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑦 + 1) ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃))))
4241impd 446 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
4342a2d 29 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
4426, 43syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦) → (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝜒) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 1) ≤ 𝑁) → 𝜃)))
454, 8, 12, 16, 18, 44uzind 11507 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁) → 𝜏))
4645expcomd 453 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
47463expb 1285 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾)) → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
4847expcom 450 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
4948com23 86 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))))
50493impia 1280 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏)))
5150impd 446 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝜏))
5251impcom 445 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  fnn0ind  11514  fzind2  12626  ssinc  39578  ssdec  39579
  Copyright terms: Public domain W3C validator