Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1f1o 14649
 Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1f1o (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem fz1f1o
StepHypRef Expression
1 hashcl 13349 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2 elnn0 11496 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
31, 2sylib 208 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
43orcomd 860 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ))
5 hasheq0 13356 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
6 isfinite4 13355 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
7 bren 8118 . . . . 5 ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
86, 7sylbb 209 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
98biantrud 521 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
105, 9orbi12d 904 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) = 0 ∨ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴))))
114, 10mpbid 222 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 836   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  ∅c0 4063   class class class wbr 4786  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ≈ cen 8106  Fincfn 8109  0cc0 10138  1c1 10139  ℕcn 11222  ℕ0cn0 11494  ...cfz 12533  ♯chash 13321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322 This theorem is referenced by:  sumz  14661  fsumf1o  14662  fsumss  14664  fsumcl2lem  14670  fsumadd  14678  fsummulc2  14723  fsumconst  14729  fsumrelem  14746  prod1  14881  fprodf1o  14883  fprodss  14885  fprodcl2lem  14887  fprodmul  14897  fproddiv  14898  fprodconst  14915  fprodn0  14916  gsumval3eu  18512  gsumzres  18517  gsumzcl2  18518  gsumzf1o  18520  gsumzaddlem  18528  gsumconst  18541  gsumzmhm  18544  gsumzoppg  18551  gsumfsum  20028  f1ocnt  29899  stoweidlem35  40769  stoweidlem39  40773
 Copyright terms: Public domain W3C validator