MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to4untppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0to4untppr 12650
Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
fz0to4untppr (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr
StepHypRef Expression
1 df-3 11282 . . . . 5 3 = (2 + 1)
2 2cn 11293 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
32addid2i 10426 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
43eqcomi 2780 . . . . . 6 2 = (0 + 2)
54oveq1i 6803 . . . . 5 (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
61, 5eqtri 2793 . . . 4 3 = ((0 + 2) + 1)
7 3z 11612 . . . . 5 3 ∈ ℤ
8 0re 10242 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 3re 11296 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3pos 11316 . . . . . 6 0 < 3
118, 9, 10ltleii 10362 . . . . 5 0 ≤ 3
12 0z 11590 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
1312eluz1i 11896 . . . . 5 (3 ∈ (ℤ‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
147, 11, 13mpbir2an 690 . . . 4 3 ∈ (ℤ‘0)
156, 14eqeltrri 2847 . . 3 ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0)
16 4z 11613 . . . . 5 4 ∈ ℤ
17 2re 11292 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
18 4re 11299 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
19 2lt4 11400 . . . . . 6 2 < 4
2017, 18, 19ltleii 10362 . . . . 5 2 ≤ 4
21 2z 11611 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2221eluz1i 11896 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
2316, 20, 22mpbir2an 690 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
244fveq2i 6335 . . . 4 (ℤ‘2) = (ℤ‘(0 + 2))
2523, 24eleqtri 2848 . . 3 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))
26 fzsplit2 12573 . . 3 ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
2715, 25, 26mp2an 672 . 2 (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28 fztp 12604 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
2912, 28ax-mp 5 . . . 4 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30 ax-1cn 10196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31 eqidd 2772 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32 addid2 10421 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
333a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
3431, 32, 33tpeq123d 4419 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
3530, 34ax-mp 5 . . . 4 {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
3629, 35eqtri 2793 . . 3 (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
373a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
3837oveq1d 6808 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
3938, 1syl6eqr 2823 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
4039oveq1d 6808 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 3 = 3
42 df-4 11283 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
4341, 42pm3.2i 447 . . . . . . . . 9 (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45 3lt4 11399 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
469, 18, 45ltleii 10362 . . . . . . . . . 10 3 ≤ 4
477eluz1i 11896 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
4816, 46, 47mpbir2an 690 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘3)
49 fzopth 12585 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
5144, 50sylibr 224 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52 fzpr 12603 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
5351, 52eqtrd 2805 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
5442eqcomi 2780 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
5554preq2i 4408 . . . . . 6 {3, (3 + 1)} = {3, 4}
5653, 55syl6eq 2821 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
5740, 56eqtrd 2805 . . . 4 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
587, 57ax-mp 5 . . 3 (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
5936, 58uneq12i 3916 . 2 ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
6027, 59eqtri 2793 1 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  {cpr 4318  {ctp 4320   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cle 10277  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  prm23lt5  15726  usgrexmplvtx  26376
  Copyright terms: Public domain W3C validator