Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz0n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0n 31742
Description: The sequence (0...(𝑁 − 1)) is empty iff 𝑁 is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz0n (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem fz0n
StepHypRef Expression
1 0z 11426 . . 3 0 ∈ ℤ
2 nn0z 11438 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 peano2zm 11458 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5 fzn 12395 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
61, 4, 5sylancr 696 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
7 elnn0 11332 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
8 nnge1 11084 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9 nnre 11065 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
11 subge0 10579 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑁))
12 0re 10078 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
13 resubcl 10383 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
14 lenlt 10154 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
1512, 13, 14sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
1611, 15bitr3d 270 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
179, 10, 16sylancl 695 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
188, 17mpbid 222 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑁 − 1) < 0)
19 nnne0 11091 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2019neneqd 2828 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
2118, 202falsed 365 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
22 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
23 df-neg 10307 . . . . . . 7 -1 = (0 − 1)
2422, 23syl6eqr 2703 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = -1)
25 neg1lt0 11165 . . . . . 6 -1 < 0
2624, 25syl6eqbr 4724 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) < 0)
27 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
2826, 272thd 255 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
2921, 28jaoi 393 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
307, 29sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
316, 30bitr3d 270 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator