Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0fzelfz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0fzelfz0 12484
 Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0 ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → 𝑀 ∈ (0...𝑅))

Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12469 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝑅) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅))
2 elfz2 12371 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)))
3 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
5 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
94, 6, 83jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
11 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
1312anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝑁𝑁𝑀))
14 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 0 ≤ 𝑀))
1510, 13, 14sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
16 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
173, 15, 16sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1817exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℕ0)))
1918com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
20193ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → (𝑁𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
2120com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
2221adantrd 483 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁𝑀𝑀𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
23223ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀𝑀𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
2423imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0))
2524imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
26 simpr2 1088 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 simplrr 818 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅)) → 𝑀𝑅)
2825, 26, 273jca 1261 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅))
2928ex 449 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅)))
302, 29sylbi 207 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅)))
3130com12 32 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅)))
321, 31sylbi 207 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝑅) → (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅)))
3332imp 444 . 2 ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅))
34 elfz2nn0 12469 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑅) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅))
3533, 34sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → 𝑀 ∈ (0...𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974   ≤ cle 10113  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ...cfz 12364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365 This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  12487  fourierdlem15  40657
 Copyright terms: Public domain W3C validator