MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0fzelfz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0fzelfz0 12484
Description: If a member of a finite set of sequential integers with a lower bound being a member of a finite set of sequential nonnegative integers with the same upper bound, this member is also a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzelfz0 ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → 𝑀 ∈ (0...𝑅))

Proof of Theorem fz0fzelfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12469 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝑅) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅))
2 elfz2 12371 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)))
3 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
5 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
94, 6, 83jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
11 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
1312anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝑁𝑁𝑀))
14 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 0 ≤ 𝑀))
1510, 13, 14sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
16 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
173, 15, 16sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1817exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℕ0)))
1918com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
20193ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → (𝑁𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℕ0)))
2120com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
2221adantrd 483 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁𝑀𝑀𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
23223ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀𝑀𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0)))
2423imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → 𝑀 ∈ ℕ0))
2524imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
26 simpr2 1088 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 simplrr 818 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅)) → 𝑀𝑅)
2825, 26, 273jca 1261 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅))
2928ex 449 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑀𝑀𝑅)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅)))
302, 29sylbi 207 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅)))
3130com12 32 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑁𝑅) → (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅)))
321, 31sylbi 207 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝑅) → (𝑀 ∈ (𝑁...𝑅) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅)))
3332imp 444 . 2 ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅))
34 elfz2nn0 12469 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑅) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀𝑅))
3533, 34sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ (0...𝑅) ∧ 𝑀 ∈ (𝑁...𝑅)) → 𝑀 ∈ (0...𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  fz0fzdiffz0  12487  fourierdlem15  40657
  Copyright terms: Public domain W3C validator