MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0fzdiffz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0fzdiffz0 12613
Description: The difference of an integer in a finite set of sequential nonnegative integers and and an integer of a finite set of sequential integers with the same upper bound and the nonnegative integer as lower bound is a member of the finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fz0fzdiffz0 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fz0fzdiffz0
StepHypRef Expression
1 fz0fzelfz0 12610 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2 elfzle1 12508 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
32adantl 473 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
43adantl 473 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑀𝐾)
5 elfznn0 12597 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
65adantr 472 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
7 elfznn0 12597 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8 nn0sub 11506 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
96, 7, 8syl2anr 496 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝑀𝐾 ↔ (𝐾𝑀) ∈ ℕ0))
104, 9mpbid 222 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾𝑀) ∈ ℕ0)
11 elfz3nn0 12598 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1211adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 elfz2nn0 12595 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
14 elfz2 12497 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
15 zsubcl 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
1615zred 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
1716ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
18173adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℝ)
19 zre 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
20193ad2ant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
21 zre 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
22213ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2318, 20, 223jca 1403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
2524adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
26 nn0ge0 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
28 nn0re 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
29 subge02 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾𝑀) ≤ 𝐾))
3020, 28, 29syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝐾𝑀) ≤ 𝐾))
3127, 30mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀) ≤ 𝐾)
3231anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾𝑀) ≤ 𝐾𝐾𝑁))
33 letr 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾𝑀) ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
3425, 32, 33sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
3534exp31 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑁 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑁 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3736com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝐾𝐾𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))))
3938impcom 445 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4014, 39sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4140com13 88 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)))
4241impcom 445 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
43423adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4413, 43sylbi 207 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
4544imp 444 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
4645adantl 473 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → (𝐾𝑀) ≤ 𝑁)
4710, 12, 463jca 1403 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
481, 47mpancom 706 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
49 elfz2nn0 12595 . 2 ((𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾𝑀) ≤ 𝑁))
5048, 49sylibr 224 1 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑀) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2127   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  cr 10098  0cc0 10099  cle 10238  cmin 10429  0cn0 11455  cz 11540  ...cfz 12490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491
This theorem is referenced by:  swrdtrcfv  13612  swrdccatwrd  13639  chfacfpmmulgsum2  20843  pfxtrcfv  41880
  Copyright terms: Public domain W3C validator