Theorem fvtp1 6602

Description: The first value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvtp1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvtp1.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvtp1	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = 𝐷)

Proof of Theorem fvtp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4318	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})
2	1	fveq1i 6332	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴)
3		necom 2994	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
4		fvunsn 6587	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴))
5	3, 4	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		fvtp1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
7		fvtp1.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
8	6, 7	fvpr1 6598	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐷)
9	5, 8	sylan9eqr 2825	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐹⟩})‘𝐴) = 𝐷)
10	2, 9	syl5eq 2815	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ({⟨𝐴, 𝐷⟩, ⟨𝐵, 𝐸⟩, ⟨𝐶, 𝐹⟩}‘𝐴) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1629   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2941  Vcvv 3348   ∪ cun 3718  {csn 4313  {cpr 4315  {ctp 4317  ⟨cop 4319  ‘cfv 6030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-br 4784  df-opab 4844  df-id 5156  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-res 5260  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fv 6038

This theorem is referenced by:  fvtp2  6603  fntpb  6615  rabren3dioph  37905  nnsum4primesodd  42209  nnsum4primesoddALTV  42210