MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvsng 6563
Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
fvsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem fvsng
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 4509 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝐴, 𝑏⟩)
21sneqd 4297 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → {⟨𝑎, 𝑏⟩} = {⟨𝐴, 𝑏⟩})
3 id 22 . . . 4 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
42, 3fveq12d 6310 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ({⟨𝑎, 𝑏⟩}‘𝑎) = ({⟨𝐴, 𝑏⟩}‘𝐴))
54eqeq1d 2726 . 2 (𝑎 = 𝐴 → (({⟨𝑎, 𝑏⟩}‘𝑎) = 𝑏 ↔ ({⟨𝐴, 𝑏⟩}‘𝐴) = 𝑏))
6 opeq2 4510 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝑏⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
76sneqd 4297 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → {⟨𝐴, 𝑏⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
87fveq1d 6306 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝑏⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴))
9 id 22 . . 3 (𝑏 = 𝐵𝑏 = 𝐵)
108, 9eqeq12d 2739 . 2 (𝑏 = 𝐵 → (({⟨𝐴, 𝑏⟩}‘𝐴) = 𝑏 ↔ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
11 vex 3307 . . 3 𝑎 ∈ V
12 vex 3307 . . 3 𝑏 ∈ V
1311, 12fvsn 6562 . 2 ({⟨𝑎, 𝑏⟩}‘𝑎) = 𝑏
145, 10, 13vtocl2g 3374 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  {csn 4285  cop 4291  cfv 6001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fv 6009
This theorem is referenced by:  fsnunfv  6569  fvpr1g  6574  fvpr2g  6575  fsnex  6653  suppsnop  7429  enfixsn  8185  axdc3lem4  9388  fseq1p1m1  12528  1fv  12573  s1fv  13502  sumsnf  14593  sumsn  14595  prodsn  14812  prodsnf  14814  seq1st  15407  vdwlem8  15815  setsid  16037  xpsc0  16343  xpsc1  16344  mgm1  17379  sgrp1  17415  mnd1  17453  mnd1id  17454  gsumws1  17498  grp1  17644  dprdsn  18556  ring1  18723  ixpsnbasval  19332  frgpcyg  20045  mat1dimscm  20404  mat1dimmul  20405  mat1rhmelval  20409  m1detdiag  20526  pt1hmeo  21732  1loopgrvd0  26531  1hevtxdg0  26532  1hevtxdg1  26533  1egrvtxdg1  26536  wlkl0  27449  actfunsnrndisj  30913  reprsuc  30923  breprexplema  30938  cvmliftlem7  31501  cvmliftlem13  31506  noextenddif  32048  noextendlt  32049  noextendgt  32050  sumsnd  39601  mapsnend  39807  ovnovollem1  41293  nnsum3primesprm  42105  lincvalsng  42632  snlindsntorlem  42686  lmod1lem2  42704  lmod1lem3  42705
  Copyright terms: Public domain W3C validator