MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr2 6609
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr2.1 𝐵 ∈ V
fvpr2.2 𝐷 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fvpr2 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)

Proof of Theorem fvpr2
StepHypRef Expression
1 prcom 4399 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = {⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}
21fveq1i 6341 . 2 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵)
3 necom 2973 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvpr2.1 . . . 4 𝐵 ∈ V
5 fvpr2.2 . . . 4 𝐷 ∈ V
64, 5fvpr1 6608 . . 3 (𝐵𝐴 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
73, 6sylbi 207 . 2 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐵, 𝐷⟩, ⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐵) = 𝐷)
82, 7syl5eq 2794 1 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐵) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  Vcvv 3328  {cpr 4311  cop 4315  cfv 6037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-res 5266  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fv 6045
This theorem is referenced by:  fnprb  6624  m2detleiblem3  20608  m2detleiblem4  20609  axlowdimlem6  25997  umgr2v2evd2  26604  ex-fv  27582  fprb  31947  nnsum3primes4  42155  nnsum3primesgbe  42159  zlmodzxzldeplem3  42770
  Copyright terms: Public domain W3C validator