MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr1g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr1g 6614
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr1g ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1g
StepHypRef Expression
1 df-pr 4316 . . . . 5 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
21fveq1i 6345 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴)
3 necom 2977 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvunsn 6601 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
53, 4sylbi 207 . . . 4 (𝐴𝐵 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
62, 5syl5eq 2798 . . 3 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
763ad2ant3 1129 . 2 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
8 fvsng 6603 . . 3 ((𝐴𝑉𝐶𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
983adant3 1126 . 2 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
107, 9eqtrd 2786 1 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  cun 3705  {csn 4313  {cpr 4315  cop 4319  cfv 6041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-res 5270  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049
This theorem is referenced by:  fvtp1g  6619  fpropnf1  6679  f1prex  6694  wrdlen2i  13879  zlmodzxzscm  42637  zlmodzxzadd  42638  lincvalpr  42709  ldepspr  42764
  Copyright terms: Public domain W3C validator