Theorem fvpr1g 6614

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4316	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2	1	fveq1i 6345	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴)
3		necom 2977	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		fvunsn 6601	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
5	3, 4	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
6	2, 5	syl5eq 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
7	6	3ad2ant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
8		fvsng 6603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
9	8	3adant3 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
10	7, 9	eqtrd 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924   ∪ cun 3705  {csn 4313  {cpr 4315  ⟨cop 4319  ‘cfv 6041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-res 5270  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049

This theorem is referenced by:  fvtp1g  6619  fpropnf1  6679  f1prex  6694  wrdlen2i  13879  zlmodzxzscm  42637  zlmodzxzadd  42638  lincvalpr  42709  ldepspr  42764