MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifb 20704
Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the second case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifb ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐵)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifb
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1102 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1102 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1083 . 2 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉)
7 nn0re 11339 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
8 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
97, 8jca 553 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
10 ne0gt0 10180 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 ↔ 0 < 𝑁))
1211biimprcd 240 . . . . . . 7 (0 < 𝑁 → (𝜑𝑁 ≠ 0))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → (𝜑𝑁 ≠ 0))
1413impcom 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → 𝑁 ≠ 0)
15143adant3 1101 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → 𝑁 ≠ 0)
16 df-ne 2824 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
1716biimpi 206 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → ¬ 𝑁 = 0)
1817pm2.21d 118 . . . 4 (𝑁 ≠ 0 → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
1915, 18syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑁 = 0 → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴))
2019imp 444 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
21 eqidd 2652 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
224, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁 < 𝑆)
2523, 24ltned 10211 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → 𝑁𝑆)
2625neneqd 2828 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑆) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2726adantrl 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
28273adant3 1101 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2928pm2.21d 118 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
3029imp 444 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
312nnred 11073 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
32 ltnsym 10173 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3322, 31, 32syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 < 𝑆 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3433com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 < 𝑆 → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3534adantl 481 . . . . . 6 ((0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → (𝜑 → ¬ 𝑆 < 𝑁))
3635impcom 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆)) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
37363adant3 1101 . . . 4 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3837pm2.21d 118 . . 3 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐷))
3938imp 444 . 2 (((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐵 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
401, 3, 5, 6, 20, 21, 30, 39fvmptnn04if 20702 1 ((𝜑 ∧ (0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) ∧ 𝑁 / 𝑛𝐵𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  csb 3566  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator