MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifa 20875
Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the first case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifa ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐴)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifa
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1127 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1127 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1132 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉)
7 eqidd 2772 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
8 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
98gt0ne0d 10794 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
109neneqd 2948 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
1110pm2.21d 119 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
1211impancom 439 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
13123adant3 1126 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
14133imp 1101 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
152nnne0d 11267 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ≠ 0)
1615necomd 2998 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ 𝑆)
1716adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → 0 ≠ 𝑆)
18 neeq1 3005 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
1918adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝑁𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
2017, 19mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁𝑆)
21203adant3 1126 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁𝑆)
2221neneqd 2948 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2322pm2.21d 119 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
2423imp 393 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
25 nnnn0 11501 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26 nn0nlt0 11521 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑆 < 0)
272, 25, 263syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
2827adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
29 breq2 4790 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁𝑆 < 0))
3029notbid 307 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
3130adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
3228, 31mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
33323adant3 1126 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3433pm2.21d 119 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐷))
3534imp 393 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
361, 3, 5, 6, 7, 14, 24, 35fvmptnn04if 20874 1 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  csb 3682  ifcif 4225   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  0cc0 10138   < clt 10276  cn 11222  0cn0 11494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator