Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvmptiunrelexplb1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptiunrelexplb1d 38504
Description: If the indexed union ranges over the first power of the relation, then the relation is a subset of the appliction of the function to the relation. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptiunrelexplb1d.c 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
fvmptiunrelexplb1d.r (𝜑𝑅 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.n (𝜑𝑁 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
fvmptiunrelexplb1d (𝜑𝑅 ⊆ (𝐶𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐶(𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fvmptiunrelexplb1d
StepHypRef Expression
1 fvmptiunrelexplb1d.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
2 oveq2 6801 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
32ssiun2s 4698 . . 3 (1 ∈ 𝑁 → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
5 fvmptiunrelexplb1d.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
65relexp1d 13979 . 2 (𝜑 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
7 fvmptiunrelexplb1d.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ V)
8 ovex 6823 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
98rgenw 3073 . . . . 5 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
10 iunexg 7290 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V) → 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
117, 9, 10sylancl 574 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
12 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
1312iuneq2d 4681 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
14 fvmptiunrelexplb1d.c . . . . 5 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
1513, 14fvmptg 6422 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V) → (𝐶𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
165, 11, 15syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
1716eqcomd 2777 . 2 (𝜑 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) = (𝐶𝑅))
184, 6, 173sstr3d 3796 1 (𝜑𝑅 ⊆ (𝐶𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723   ciun 4654  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139  𝑟crelexp 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-relexp 13969
This theorem is referenced by:  fvilbdRP  38508  fvrcllb1d  38513  fvtrcllb1d  38540  fvrtrcllb1d  38555
  Copyright terms: Public domain W3C validator