Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmap 39904
Description: Function value for a member of a set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmap.a (𝜑𝐴𝑉)
fvmap.b (𝜑𝐵𝑊)
fvmap.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵))
fvmap.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
fvmap (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fvmap
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
2 fvmap.c . 2 (𝜑𝐶𝐵)
3 fvmap.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵))
4 fvmap.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
5 fvmap.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
6 elmapg 8038 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
74, 5, 6syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
83, 7mpbid 222 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
98ffvelrnda 6523 . 2 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
101, 2, 9syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2139  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027
This theorem is referenced by:  ssmapsn  39925  hoidmvle  41338
  Copyright terms: Public domain W3C validator