Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvline2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvline2 32590
 Description: Alternate definition of a line. (Contributed by Scott Fenton, 25-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fvline2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴Line𝐵) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem fvline2
StepHypRef Expression
1 fvline 32588 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴Line𝐵) = {𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩})
2 liness 32589 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴Line𝐵) ⊆ (𝔼‘𝑁))
31, 2eqsstr3d 3789 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵)) → {𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ (𝔼‘𝑁))
4 df-ss 3737 . . . 4 ({𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ (𝔼‘𝑁) ↔ ({𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩} ∩ (𝔼‘𝑁)) = {𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩})
53, 4sylib 208 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵)) → ({𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩} ∩ (𝔼‘𝑁)) = {𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩})
61, 5eqtr4d 2808 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴Line𝐵) = ({𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩} ∩ (𝔼‘𝑁)))
7 dfrab2 4051 . 2 {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩} = ({𝑥𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩} ∩ (𝔼‘𝑁))
86, 7syl6eqr 2823 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴Line𝐵) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝐴, 𝐵⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cab 2757   ≠ wne 2943  {crab 3065   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℕcn 11222  𝔼cee 25989   Colinear ccolin 32481  Linecline2 32578 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-ec 7898  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-ee 25992  df-colinear 32483  df-line2 32581 This theorem is referenced by:  lineunray  32591  lineelsb2  32592  linerflx1  32593  linecom  32594
 Copyright terms: Public domain W3C validator