Theorem fvcoe1 19792

Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fvcoe1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Proof of Theorem fvcoe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 7730	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
2		nn0ex 11505	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 4925	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	1, 2, 3	mapsnconst 8061	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → 𝑋 = (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}))
5	4	adantl 467	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → 𝑋 = (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}))
6	5	fveq2d 6337	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘(1𝑜 × {(𝑋‘∅)})))
7		elmapi 8035	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → 𝑋:1𝑜⟶ℕ0)
8		0lt1o 7742	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1𝑜
9		ffvelrn 6502	. . . 4 ⊢ ((𝑋:1𝑜⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
10	7, 8, 9	sylancl 574	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
11		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
12	11	coe1fv 19791	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋‘∅) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1𝑜 × {(𝑋‘∅)})))
13	10, 12	sylan2 580	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1𝑜 × {(𝑋‘∅)})))
14	6, 13	eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∅c0 4063  {csn 4317   × cxp 5248  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  1_𝑜c1o 7710   ↑_𝑚 cmap 8013  ℕ₀cn0 11499  coe₁cco1 19763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-map 8015  df-nn 11227  df-n0 11500  df-coe1 19768

This theorem is referenced by:  coe1mul2  19854  ply1coe  19881  deg1ldg  24072  deg1leb  24075