MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrregdegfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrregdegfi 26667
Description: In a nonempty finite simple graph, the degree of each vertex is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isrusgr0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isrusgr0.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
fusgrregdegfi ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem fusgrregdegfi
StepHypRef Expression
1 isrusgr0.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21vtxdgfusgr 26596 . . 3 (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0)
3 r19.26 3194 . . . . . 6 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾))
4 isrusgr0.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
54fveq1i 6345 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑣) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣)
65eqeq1i 2757 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑣) = 𝐾 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7 eleq1 2819 . . . . . . . . . 10 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0))
86, 7sylbi 207 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0))
98biimpac 504 . . . . . . . 8 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109ralimi 3082 . . . . . . 7 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣𝑉 𝐾 ∈ ℕ0)
11 rspn0 4069 . . . . . . 7 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0))
1210, 11syl5com 31 . . . . . 6 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝑣) = 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0))
133, 12sylbir 225 . . . . 5 ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0))
1413ex 449 . . . 4 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → 𝐾 ∈ ℕ0)))
1514com23 86 . . 3 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ∈ ℕ0 → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0)))
162, 15syl 17 . 2 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0)))
1716imp 444 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  c0 4050  cfv 6041  0cn0 11476  Vtxcvtx 26065  FinUSGraphcfusgr 26399  VtxDegcvtxdg 26563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-xadd 12132  df-fz 12512  df-hash 13304  df-vtx 26067  df-iedg 26068  df-edg 26131  df-uhgr 26144  df-upgr 26168  df-umgr 26169  df-uspgr 26236  df-usgr 26237  df-fusgr 26400  df-vtxdg 26564
This theorem is referenced by:  fusgrn0eqdrusgr  26668  frusgrnn0  26669  fusgreghash2wsp  27484  frrusgrord0lem  27485
  Copyright terms: Public domain W3C validator