Theorem fusgrn0degnn0 26451

Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fusgrn0degnn0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgrn0degnn0	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣   𝑣,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem fusgrn0degnn0

Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3964	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑉)
2		fusgrn0degnn0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	vtxdgfusgr 26450	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
4		fveq2 6229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
5	4	eleq1d 2715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
6	5	rspcv 3336	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0))
7		risset 3091	. . . . . . . 8 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
8		fveq2 6229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
9	8	eqeq1d 2653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛))
10		eqcom 2658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘))
11	9, 10	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
12	11	rexbidv 3081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑘 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)))
13	12	rspcev 3340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘)) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)
14	13	expcom 450	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) → (𝑘 ∈ 𝑉 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
15	7, 14	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ 𝑉 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
16	15	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑘) ∈ ℕ0 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
17	6, 16	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (∀𝑢 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
18	3, 17	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
19	18	exlimiv 1898	. . 3 ⊢ (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
20	1, 19	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛))
21	20	impcom 445	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ∅c0 3948  ‘cfv 5926  ℕ₀cn0 11330  Vtxcvtx 25919  FinUSGraphcfusgr 26253  VtxDegcvtxdg 26417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-hash 13158  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-fusgr 26254  df-vtxdg 26418

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  27385