Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrfisstep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrfisstep 26444
 Description: Induction step in fusgrfis 26445: In a finite simple graph, the number of edges is finite if the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fusgrfisstep (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem fusgrfisstep
StepHypRef Expression
1 residfi 8407 . 2 (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin)
2 fusgrusgr 26437 . . . . . 6 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
3 eqid 2771 . . . . . . 7 (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4 eqid 2771 . . . . . . 7 (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
53, 4usgredgffibi 26439 . . . . . 6 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
62, 5syl 17 . . . . 5 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
763ad2ant2 1128 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
8 simp2 1131 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph)
9 opvtxfv 26105 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
109eqcomd 2777 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
1110eleq2d 2836 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑁𝑉𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)))
1211biimpa 462 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
13123adant2 1125 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
14 eqid 2771 . . . . . 6 (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
15 eqid 2771 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} = {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}
1614, 4, 15usgrfilem 26442 . . . . 5 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
178, 13, 16syl2anc 573 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
18 opiedgfv 26108 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
1918eleq1d 2835 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
20193ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
217, 17, 203bitr3rd 299 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
2221biimprd 238 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ({𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
231, 22syl5bi 232 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3046  {crab 3065  ⟨cop 4323   I cid 5157   ↾ cres 5252  ‘cfv 6030  Fincfn 8113  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  Edgcedg 26160  USGraphcusgr 26266  FinUSGraphcfusgr 26431 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-hash 13322  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-edg 26161  df-upgr 26198  df-uspgr 26267  df-usgr 26268  df-fusgr 26432 This theorem is referenced by:  fusgrfis  26445
 Copyright terms: Public domain W3C validator