MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funsng 5925
Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
funsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem funsng
StepHypRef Expression
1 funcnvsn 5924 . 2 Fun {⟨𝐵, 𝐴⟩}
2 cnvsng 5609 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
32ancoms 469 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
43funeqd 5898 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (Fun {⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
51, 4mpbii 223 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  {csn 4168  cop 4174  ccnv 5103  Fun wfun 5870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-fun 5878
This theorem is referenced by:  fnsng  5926  funsn  5927  funprg  5928  funprgOLD  5929  funtpg  5930  funtpgOLD  5931  tfrlem10  7468  snopfsupp  8283  funsnfsupp  8284  setsfun  15874  setsfun0  15875  strle1  15954  p1evtxdeqlem  26389  trlsegvdeglem3  27062  bnj519  30778  bnj150  30920  noextend  31793
  Copyright terms: Public domain W3C validator