MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funressn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funressn 6391
Description: A function restricted to a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
funressn (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})

Proof of Theorem funressn
StepHypRef Expression
1 funfn 5887 . . . 4 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2 fnressn 6390 . . . 4 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
31, 2sylanb 489 . . 3 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
4 eqimss 3642 . . 3 ((𝐹 ↾ {𝐵}) = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
53, 4syl 17 . 2 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
6 disjsn 4223 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹)
7 fnresdisj 5969 . . . . . 6 (𝐹 Fn dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
81, 7sylbi 207 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
96, 8syl5bbr 274 . . . 4 (Fun 𝐹 → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅))
109biimpa 501 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) = ∅)
11 0ss 3950 . . 3 ∅ ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}
1210, 11syl6eqss 3640 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
135, 12pm2.61dan 831 1 (Fun 𝐹 → (𝐹 ↾ {𝐵}) ⊆ {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3559  wss 3560  c0 3897  {csn 4155  cop 4161  dom cdm 5084  cres 5086  Fun wfun 5851   Fn wfn 5852  cfv 5857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865
This theorem is referenced by:  fnsnb  6397  tfrlem16  7449  fnfi  8198  fodomfi  8199  bnj142OLD  30555
  Copyright terms: Public domain W3C validator