MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funprg 5978
Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by JJ, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
funprg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg
StepHypRef Expression
1 funsng 5975 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐶𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
2 funsng 5975 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐷𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
31, 2anim12i 589 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐶𝑋) ∧ (𝐵𝑊𝐷𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
43an4s 886 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
543adant3 1101 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
6 dmsnopg 5642 . . . . . 6 (𝐶𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
7 dmsnopg 5642 . . . . . 6 (𝐷𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
86, 7ineqan12d 3849 . . . . 5 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
9 disjsn2 4279 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
108, 9sylan9eq 2705 . . . 4 (((𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
11103adant1 1099 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
12 funun 5970 . . 3 (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
135, 11, 12syl2anc 694 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
14 df-pr 4213 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
1514funeqi 5947 . 2 (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
1613, 15sylibr 224 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌) ∧ 𝐴𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cun 3605  cin 3606  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216  dom cdm 5143  Fun wfun 5920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-fun 5928
This theorem is referenced by:  funtpg  5980  funtpgOLD  5981  funpr  5982  fnprg  5985  fpropnf1  6564
  Copyright terms: Public domain W3C validator