MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funmpt 5894
Description: A function in maps-to notation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
funmpt Fun (𝑥𝐴𝐵)

Proof of Theorem funmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab4 5893 . 2 Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑦 = 𝐵)}
2 df-mpt 4685 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑦 = 𝐵)}
32funeqi 5878 . 2 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ Fun {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑦 = 𝐵)})
41, 3mpbir 221 1 Fun (𝑥𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {copab 4682  cmpt 4683  Fun wfun 5851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-fun 5859
This theorem is referenced by:  funmpt2  5895  resfunexg  6444  mptexg  6449  mptexgf  6450  brtpos2  7318  tposfun  7328  mptfi  8225  sniffsupp  8275  cantnfrescl  8533  cantnflem1  8546  r0weon  8795  axcc2lem  9218  mptct  9320  negfi  10931  mptnn0fsupp  12753  ccatalpha  13330  mreacs  16259  acsfn  16260  isofval  16357  lubfun  16920  glbfun  16933  acsficl2d  17116  pmtrsn  17879  gsum2dlem2  18310  gsum2d  18311  dprdfinv  18358  dprdfadd  18359  dmdprdsplitlem  18376  dpjidcl  18397  mptscmfsupp0  18868  00lsp  18921  psrass1lem  19317  psrlidm  19343  psrridm  19344  psrass1  19345  psrass23l  19348  psrcom  19349  psrass23  19350  mplsubrg  19380  mplmon  19403  mplmonmul  19404  mplcoe1  19405  mplcoe5  19408  mplbas2  19410  evlslem2  19452  evlslem6  19453  psropprmul  19548  coe1mul2  19579  pjpm  19992  frlmphllem  20059  frlmphl  20060  uvcff  20070  uvcresum  20072  oftpos  20198  pmatcollpw2lem  20522  tgrest  20903  cmpfi  21151  1stcrestlem  21195  ptcnplem  21364  xkoinjcn  21430  symgtgp  21845  eltsms  21876  rrxmval  23128  tdeglem4  23758  plypf1  23906  tayl0  24054  taylthlem1  24065  xrlimcnp  24629  abrexexd  29235  fmptcof2  29340  ofpreima  29349  funcnvmptOLD  29351  mptctf  29379  psgnfzto1stlem  29677  locfinreflem  29731  measdivcstOLD  30110  sxbrsigalem0  30156  sitgf  30232  nosino  31628  imageval  31732  poimirlem30  33110  poimir  33113  choicefi  38901  fourierdlem80  39740  sge0tsms  39934  scmsuppss  41471  rmfsupp  41473  scmfsupp  41477  fdivval  41655
  Copyright terms: Public domain W3C validator