MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funisfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funisfsupp 8447
Description: The property of a function to be finitely supported (in relation to a given zero). (Contributed by AV, 23-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
funisfsupp ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))

Proof of Theorem funisfsupp
StepHypRef Expression
1 isfsupp 8446 . . 3 ((𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
213adant1 1125 . 2 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
3 ibar 526 . . . 4 (Fun 𝑅 → ((𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ (Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin)))
43bicomd 213 . . 3 (Fun 𝑅 → ((Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin) ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
543ad2ant1 1128 . 2 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → ((Fun 𝑅 ∧ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin) ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
62, 5bitrd 268 1 ((Fun 𝑅𝑅𝑉𝑍𝑊) → (𝑅 finSupp 𝑍 ↔ (𝑅 supp 𝑍) ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  Fun wfun 6043  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  Fincfn 8123   finSupp cfsupp 8442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6817  df-fsupp 8443
This theorem is referenced by:  suppeqfsuppbi  8456  suppssfifsupp  8457  fsuppunbi  8463  0fsupp  8464  snopfsupp  8465  fsuppres  8467  resfsupp  8469  frnfsuppbi  8471  fsuppco  8474  sniffsupp  8482  cantnfp1lem1  8750  mptnn0fsupp  13011  dprdfadd  18639  lcomfsupp  19125  mplsubglem2  19658  ltbwe  19694  frlmbas  20321  frlmphllem  20341  frlmsslsp  20357  pmatcollpw2lem  20804  rrxmval  23408  eulerpartgbij  30764  pwfi2f1o  38186  fidmfisupp  39907  lcoc0  42739
  Copyright terms: Public domain W3C validator