Theorem funfvima2 6656

Description: A function's value in an included preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 3-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3738	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ dom 𝐹))
2		funfvima 6655	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
3	2	ex 449	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
4	3	com23 86	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
5	4	a2d 29	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
7	6	imp 444	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  dom cdm 5266   “ cima 5269  Fun wfun 6043  ‘cfv 6049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-fv 6057

This theorem is referenced by:  resfvresima  6657  fnfvima  6659  f1oweALT  7317  tz7.49  7709  phimullem  15686  mrcuni  16483  frlmsslsp  20337  lindfrn  20362  iscldtop  21101  1stcfb  21450  2ndcomap  21463  rnelfm  21958  fmfnfmlem2  21960  fmfnfmlem4  21962  qtopbaslem  22763  tgqioo  22804  bndth  22958  volsup  23524  dyadmbllem  23567  opnmbllem  23569  itg1addlem4  23665  c1liplem1  23958  dvcnvrelem1  23979  dvcnvrelem2  23980  plyco0  24147  plyaddlem1  24168  plymullem1  24169  dvloglem  24593  logf1o2  24595  efopn  24603  axcontlem10  26052  imaelshi  29226  funimass4f  29746  sitgclg  30713  cvmliftlem3  31576  nocvxminlem  32199  nocvxmin  32200  ivthALT  32636  opnmbllem0  33758  ismtyres  33920  heibor1lem  33921  ismrc  37766  aomclem4  38129  funfvima2d  38971  fnfvimad  39958