MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcres2 16950
Description: A functor into a smaller category of sets is a functor into the larger category. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resssetc.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
resssetc.d 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
resssetc.1 (𝜑𝑈𝑊)
resssetc.2 (𝜑𝑉𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcres2 (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))

Proof of Theorem funcsetcres2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2772 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf𝐸) = (Homf𝐸))
2 eqidd 2772 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf𝐸) = (compf𝐸))
3 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Homf𝐶) = (Homf𝐶)
5 resssetc.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑊)
6 resssetc.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
76setccat 16942 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑊𝐶 ∈ Cat)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
98adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐶 ∈ Cat)
10 resssetc.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑉𝑈)
116, 5setcbas 16935 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐶))
1210, 11sseqtrd 3790 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
1312adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝐶))
14 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝐶s 𝑉) = (𝐶s 𝑉)
15 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) = (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))
163, 4, 9, 13, 14, 15fullresc 16718 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ∧ (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))))))
1716simpld 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
18 resssetc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (SetCat‘𝑉)
196, 18, 5, 10resssetc 16949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf𝐷) ∧ (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf𝐷)))
2019adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf𝐷) ∧ (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf𝐷)))
2120simpld 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶s 𝑉)) = (Homf𝐷))
2217, 21eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (Homf ‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (Homf𝐷))
2316simprd 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))))
2420simprd 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶s 𝑉)) = (compf𝐷))
2523, 24eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (compf‘(𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (compf𝐷))
26 funcrcl 16730 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2827simpld 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐸 ∈ Cat)
293, 4, 9, 13fullsubc 16717 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶))
3015, 29subccat 16715 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉))) ∈ Cat)
3127simprd 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝐷 ∈ Cat)
321, 2, 22, 25, 28, 28, 30, 31funcpropd 16767 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) = (𝐸 Func 𝐷))
33 funcres2 16765 . . . . . 6 (((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Subcat‘𝐶) → (𝐸 Func (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
3429, 33syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func (𝐶cat ((Homf𝐶) ↾ (𝑉 × 𝑉)))) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
3532, 34eqsstr3d 3789 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
36 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷))
3735, 36sseldd 3753 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶))
3837ex 397 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐸 Func 𝐶)))
3938ssrdv 3758 1 (𝜑 → (𝐸 Func 𝐷) ⊆ (𝐸 Func 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   × cxp 5248  cres 5252  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  s cress 16065  Catccat 16532  Homf chomf 16534  compfccomf 16535  cat cresc 16675  Subcatcsubc 16676   Func cfunc 16721  SetCatcsetc 16932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-hom 16174  df-cco 16175  df-cat 16536  df-cid 16537  df-homf 16538  df-comf 16539  df-ssc 16677  df-resc 16678  df-subc 16679  df-func 16725  df-setc 16933
This theorem is referenced by:  yonedalem1  17120
  Copyright terms: Public domain W3C validator