MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem7 17008
Description: Lemma 7 for funcsetcestrc 17011. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem7
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . 5 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2 funcsetcestrc.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑆)
3 funcsetcestrc.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4 funcsetcestrc.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . . . 5 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6 funcsetcestrc.g . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
71, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem5 17006 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑋𝐶)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋)))
87anabsan2 645 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋)))
9 eqid 2770 . . . 4 (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
104adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑈 ∈ WUni)
111, 4setcbas 16934 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
1211, 2syl6reqr 2823 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = 𝑈)
1312eleq2d 2835 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
1413biimpa 462 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝑈)
151, 9, 10, 14setcid 16942 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝑆)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
168, 15fveq12d 6338 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)))
17 f1oi 6315 . . . . . 6 ( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋
18 f1of 6278 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋
20 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
21 elmapg 8021 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝑋𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋𝑚 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋))
2220, 21sylancom 568 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋𝑚 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋))
2319, 22mpbiri 248 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋𝑚 𝑋))
24 fvresi 6582 . . . 4 (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋𝑚 𝑋) → (( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
26 eqid 2770 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
27261strbas 16187 . . . . 5 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2820, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2928reseq2d 5534 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
3025, 29eqtrd 2804 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ (𝑋𝑚 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
311, 2, 3funcsetcestrclem1 17001 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
3231fveq2d 6336 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
33 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
34 eqid 2770 . . . 4 (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
351, 2, 4, 5setc1strwun 17000 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
3633, 34, 10, 35estrcid 16980 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
3732, 36eqtr2d 2805 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
3816, 30, 373eqtrd 2808 1 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  {csn 4314  cop 4320  cmpt 4861   I cid 5156  cres 5251  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  ωcom 7211  𝑚 cmap 8008  WUnicwun 9723  ndxcnx 16060  Basecbs 16063  Idccid 16532  SetCatcsetc 16931  ExtStrCatcestrc 16968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-wun 9725  df-ni 9895  df-pli 9896  df-mi 9897  df-lti 9898  df-plpq 9931  df-mpq 9932  df-ltpq 9933  df-enq 9934  df-nq 9935  df-erq 9936  df-plq 9937  df-mq 9938  df-1nq 9939  df-rq 9940  df-ltnq 9941  df-np 10004  df-plp 10006  df-ltp 10008  df-enr 10078  df-nr 10079  df-c 10143  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-hom 16173  df-cco 16174  df-cat 16535  df-cid 16536  df-setc 16932  df-estrc 16969
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  17011
  Copyright terms: Public domain W3C validator