Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funcringcsetcALTV2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcringcsetcALTV2lem7 42560
Description: Lemma 7 for funcringcsetcALTV2 42563. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcringcsetcALTV2.r 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcringcsetcALTV2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
funcringcsetcALTV2.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcringcsetcALTV2.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
funcringcsetcALTV2.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
funcringcsetcALTV2lem7 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑦,𝐵,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem7
StepHypRef Expression
1 funcringcsetcALTV2.r . . . . 5 𝑅 = (RingCat‘𝑈)
2 funcringcsetcALTV2.s . . . . 5 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3 funcringcsetcALTV2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 funcringcsetcALTV2.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑆)
5 funcringcsetcALTV2.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
6 funcringcsetcALTV2.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
7 funcringcsetcALTV2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑥 RingHom 𝑦))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcringcsetcALTV2lem5 42558 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
98anabsan2 645 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋)))
10 eqid 2770 . . . 4 (Id‘𝑅) = (Id‘𝑅)
115adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑈 ∈ WUni)
12 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
13 eqid 2770 . . . 4 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
141, 3, 10, 11, 12, 13ringcid 42543 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑅)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
159, 14fveq12d 6338 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))))
161, 3, 5ringcbas 42529 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
1716eleq2d 2835 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
18 elin 3945 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑋𝑈𝑋 ∈ Ring))
1918simprbi 478 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑋 ∈ Ring)
2017, 19syl6bi 243 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ Ring))
2120imp 393 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ Ring)
2213idrhm 18940 . . 3 (𝑋 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋))
23 fvresi 6582 . . 3 (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ (𝑋 RingHom 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
2421, 22, 233syl 18 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → (( I ↾ (𝑋 RingHom 𝑋))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
251, 2, 3, 4, 5, 6funcringcsetcALTV2lem1 42554 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) = (Base‘𝑋))
2625fveq2d 6336 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)))
27 eqid 2770 . . . 4 (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
281, 3, 5ringcbasbas 42552 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐵) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑈)
292, 27, 11, 28setcid 16942 . . 3 ((𝜑𝑋𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
3026, 29eqtr2d 2805 . 2 ((𝜑𝑋𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
3115, 24, 303eqtrd 2808 1 ((𝜑𝑋𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑅)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cin 3720  cmpt 4861   I cid 5156  cres 5251  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  WUnicwun 9723  Basecbs 16063  Idccid 16532  SetCatcsetc 16931  Ringcrg 18754   RingHom crh 18921  RingCatcringc 42521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-wun 9725  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-cat 16535  df-cid 16536  df-homf 16537  df-ssc 16676  df-resc 16677  df-subc 16678  df-setc 16932  df-estrc 16969  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-grp 17632  df-ghm 17865  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-rnghom 18924  df-ringc 42523
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  42563
  Copyright terms: Public domain W3C validator