Theorem funcrcl 16716

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 16711	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpt2cl 7033	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  [wsbc 3568  ⟨cop 4319  {copab 4856   × cxp 5256  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  1^st c1st 7323  2^nd c2nd 7324   ↑_𝑚 cmap 8015  Xcixp 8066  Basecbs 16051  Hom chom 16146  compcco 16147  Catccat 16518  Idccid 16519   Func cfunc 16707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-xp 5264  df-dm 5268  df-iota 6004  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-func 16711

This theorem is referenced by:  funcf1  16719  funcixp  16720  funcid  16723  funcco  16724  funcsect  16725  funcinv  16726  funciso  16727  funcoppc  16728  cofucl  16741  cofulid  16743  cofurid  16744  funcres  16749  funcres2b  16750  funcpropd  16753  funcres2c  16754  isfull  16763  isfth  16767  fthsect  16778  fthinv  16779  fthmon  16780  fthepi  16781  ffthiso  16782  natfval  16799  fucbas  16813  fuchom  16814  fucco  16815  fuccocl  16817  fucidcl  16818  fuclid  16819  fucrid  16820  fucass  16821  fucid  16824  fucsect  16825  fucinv  16826  invfuc  16827  fuciso  16828  funcsetcres2  16936  prfcl  17036  prf1st  17037  prf2nd  17038  curf1cl  17061  curfcl  17065  uncfval  17067  uncfcl  17068  uncf1  17069  uncf2  17070  curfuncf  17071  uncfcurf  17072  yonffthlem  17115  yoneda  17116