Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fucid 16838
 Description: The identity morphism in the functor category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucid.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fucid.i 𝐼 = (Id‘𝑄)
fucid.1 1 = (Id‘𝐷)
fucid.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
Assertion
Ref Expression
fucid (𝜑 → (𝐼𝐹) = ( 1 ∘ (1st𝐹)))

Proof of Theorem fucid
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucid.i . . 3 𝐼 = (Id‘𝑄)
2 fucid.q . . . . 5 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
3 fucid.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4 funcrcl 16730 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
65simpld 482 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
75simprd 483 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
8 fucid.1 . . . . 5 1 = (Id‘𝐷)
92, 6, 7, 8fuccatid 16836 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st𝑓)))))
109simprd 483 . . 3 (𝜑 → (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st𝑓))))
111, 10syl5eq 2817 . 2 (𝜑𝐼 = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st𝑓))))
12 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑓 = 𝐹) → 𝑓 = 𝐹)
1312fveq2d 6337 . . 3 ((𝜑𝑓 = 𝐹) → (1st𝑓) = (1st𝐹))
1413coeq2d 5422 . 2 ((𝜑𝑓 = 𝐹) → ( 1 ∘ (1st𝑓)) = ( 1 ∘ (1st𝐹)))
158fvexi 6345 . . . 4 1 ∈ V
16 fvex 6344 . . . 4 (1st𝐹) ∈ V
1715, 16coex 7269 . . 3 ( 1 ∘ (1st𝐹)) ∈ V
1817a1i 11 . 2 (𝜑 → ( 1 ∘ (1st𝐹)) ∈ V)
1911, 14, 3, 18fvmptd 6432 1 (𝜑 → (𝐼𝐹) = ( 1 ∘ (1st𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ↦ cmpt 4864   ∘ ccom 5254  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  1st c1st 7317  Catccat 16532  Idccid 16533   Func cfunc 16721   FuncCat cfuc 16809 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-hom 16174  df-cco 16175  df-cat 16536  df-cid 16537  df-func 16725  df-nat 16810  df-fuc 16811 This theorem is referenced by:  fucsect  16839  evlfcl  17070  curfcl  17080  curfuncf  17086  curf2ndf  17095
 Copyright terms: Public domain W3C validator