MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthepi 16635
Description: A faithful functor reflects epimorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
fthmon.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthmon.f (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
fthmon.x (𝜑𝑋𝐵)
fthmon.y (𝜑𝑌𝐵)
fthmon.r (𝜑𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
fthepi.e 𝐸 = (Epi‘𝐶)
fthepi.p 𝑃 = (Epi‘𝐷)
fthepi.1 (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹𝑋)𝑃(𝐹𝑌)))
Assertion
Ref Expression
fthepi (𝜑𝑅 ∈ (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem fthepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2 fthmon.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2oppcbas 16425 . . 3 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4 eqid 2651 . . 3 (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
5 eqid 2651 . . . 4 (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
6 fthmon.f . . . 4 (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
71, 5, 6fthoppc 16630 . . 3 (𝜑𝐹((oppCat‘𝐶) Faith (oppCat‘𝐷))tpos 𝐺)
8 fthmon.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
9 fthmon.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
10 fthmon.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
11 fthmon.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
1211, 1oppchom 16422 . . . 4 (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌)
1310, 12syl6eleqr 2741 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
14 eqid 2651 . . 3 (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
15 eqid 2651 . . 3 (Mono‘(oppCat‘𝐷)) = (Mono‘(oppCat‘𝐷))
16 ovtpos 7412 . . . . . 6 (𝑌tpos 𝐺𝑋) = (𝑋𝐺𝑌)
1716fveq1i 6230 . . . . 5 ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) = ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)
18 fthepi.1 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹𝑋)𝑃(𝐹𝑌)))
1917, 18syl5eqel 2734 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) ∈ ((𝐹𝑋)𝑃(𝐹𝑌)))
20 fthfunc 16614 . . . . . . . . . 10 (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
2120ssbri 4730 . . . . . . . . 9 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
226, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
23 df-br 4686 . . . . . . . 8 (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2422, 23sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
25 funcrcl 16570 . . . . . . 7 (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726simprd 478 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
28 fthepi.p . . . . 5 𝑃 = (Epi‘𝐷)
295, 27, 15, 28oppcmon 16445 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑌)(Mono‘(oppCat‘𝐷))(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋)𝑃(𝐹𝑌)))
3019, 29eleqtrrd 2733 . . 3 (𝜑 → ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) ∈ ((𝐹𝑌)(Mono‘(oppCat‘𝐷))(𝐹𝑋)))
313, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 30fthmon 16634 . 2 (𝜑𝑅 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
3226simpld 474 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
33 fthepi.e . . 3 𝐸 = (Epi‘𝐶)
341, 32, 14, 33oppcmon 16445 . 2 (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
3531, 34eleqtrd 2732 1 (𝜑𝑅 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cop 4216   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  tpos ctpos 7396  Basecbs 15904  Hom chom 15999  Catccat 16372  oppCatcoppc 16418  Monocmon 16435  Epicepi 16436   Func cfunc 16561   Faith cfth 16610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-hom 16013  df-cco 16014  df-cat 16376  df-cid 16377  df-oppc 16419  df-mon 16437  df-epi 16438  df-func 16565  df-fth 16612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator