MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2ditglem 24027
Description: Lemma for ftc2ditg 24028. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ftc2ditg.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ftc2ditg.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
ftc2ditg.i (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2ditg.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2ditglem ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌

Proof of Theorem ftc2ditglem
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21ditgpos 23839 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
3 ftc2ditg.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 ftc2ditg.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 iccssre 12468 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
63, 4, 5syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
7 ftc2ditg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
86, 7sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 ftc2ditg.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
116, 10sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1211adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 ax-resscn 10205 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ℝ ⊆ ℂ)
15 ftc2ditg.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
16 cncff 22917 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1817adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
196adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
20 iccssre 12468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
218, 11, 20syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2221adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23 eqid 2760 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423tgioo2 22827 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2523, 24dvres 23894 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ) ∧ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
2614, 18, 19, 22, 25syl22anc 1478 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
27 iccntr 22845 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
288, 11, 27syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2928adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
3029reseq2d 5551 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
3126, 30eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
323rexrd 10301 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
33 elicc2 12451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
343, 4, 33syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
357, 34mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
3635simp2d 1138 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
37 iooss1 12423 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
3832, 36, 37syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
394rexrd 10301 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
40 elicc2 12451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
413, 4, 40syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
4210, 41mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
4342simp3d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑌)
44 iooss2 12424 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4539, 43, 44syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4638, 45sstrd 3754 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4746adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
48 ftc2ditg.c . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
4948adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
50 rescncf 22921 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
5147, 49, 50sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
5231, 51eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
53 cncff 22917 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
5448, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
5554feqmptd 6412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5655adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5756reseq1d 5550 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
5847resmptd 5610 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5957, 58eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
6031, 59eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
61 ioombl 23553 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
63 fvexd 6365 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
64 ftc2ditg.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6564adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6656, 65eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
6747, 62, 63, 66iblss 23790 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
6860, 67eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ 𝐿1)
69 iccss2 12457 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
707, 10, 69syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
71 rescncf 22921 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
7270, 15, 71sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7372adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
749, 12, 1, 52, 68, 73ftc2 24026 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)))
7531fveq1d 6355 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡))
76 fvres 6369 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
7775, 76sylan9eq 2814 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
7877itgeq2dv 23767 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
799rexrd 10301 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8012rexrd 10301 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81 ubicc2 12502 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82 lbicc2 12501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83 fvres 6369 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
84 fvres 6369 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
8583, 84oveqan12d 6833 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8681, 82, 85syl2anc 696 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8779, 80, 1, 86syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8874, 78, 873eqtr3d 2802 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
892, 88eqtrd 2794 1 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  *cxr 10285  cle 10287  cmin 10478  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  TopOpenctopn 16304  topGenctg 16320  fldccnfld 19968  intcnt 21043  cnccncf 22900  volcvol 23452  𝐿1cibl 23605  citg 23606  cdit 23829   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23656  df-ditg 23830  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  ftc2ditg  24028
  Copyright terms: Public domain W3C validator